จงหาค่าปริพันธ์ตามเส้นของ (e^y + x) dx + (x e^y − 2y) dy รอบเส้นทางสามเหลี่ยมปิดที่ผ่านจุด (0,0), (0,1) และ (1,2)

Step-by-step solution

1. 1

   เลือกใช้ทฤษฎีบทของกรีนแทนการกำหนดพารามิเตอร์ตรง ๆ เส้นทางเป็นเส้นปิดและเรียบเป็นช่วง ๆ ถ้ากำหนดพารามิเตอร์ทีละส่วนทั้งสามส่วนจะได้ปริพันธ์ยุ่ง ๆ ที่มี $e^y$ ถึงสามอัน ทฤษฎีบทของกรีนเปลี่ยนทั้งหมดให้เป็นปริพันธ์สองชั้นอันเดียวบนสามเหลี่ยม $D$ ที่ถูกล้อมไว้

   $\oint_L P\,dx+Q\,dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$

2. 2

   ระบุ P และ Q

   $P(x,y)=e^{y}+x,\qquad Q(x,y)=xe^{y}-2y$

3. 3

   หาอนุพันธ์ย่อยทั้งสองตัว การหาอนุพันธ์ของ $Q$ เทียบ $x$ ถือว่า $y$ คงที่ ดังนั้น $e^y$ เป็นแค่ตัวคูณคงที่ และ $-2y$ หายไป

   $\frac{\partial Q}{\partial x}=e^{y}$

   ส่วนการหาอนุพันธ์ของ $P$ เทียบ $y$ พจน์ $x$ หายไป

   $\frac{\partial P}{\partial y}=e^{y}$

4. 4

   ลบกันแล้วอินทิเกรต

   $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=e^{y}-e^{y}=0$

   ดังนั้น

   $\oint_L P\,dx+Q\,dy=\iint_D 0\,dA=0$

   $\boxed{0}$

5. 5

   อธิบายว่าทำไมรูปร่างของสามเหลี่ยมจึงไม่เกี่ยว เพราะ $\partial Q/\partial x=\partial P/\partial y$ ทุกจุดบนระนาบ (ซึ่งเป็นโดเมนเชื่อมโยงเชิงเดียว) สนามนี้จึงเป็น สนามอนุรักษ์ คือเป็นเกรเดียนต์ของฟังก์ชันศักย์

   $\varphi(x,y)=xe^{y}+\tfrac{x^2}{2}-y^2$

   เนื่องจาก $\varphi_x=e^y+x=P$ และ $\varphi_y=xe^y-2y=Q$ วงปิดใด ๆ จึงวนกลับมาที่ค่าศักย์เดิม ได้ผลเป็น $0$ — จุดยอดทั้งสามที่โจทย์ให้จะเปลี่ยนเป็นจุดใดก็ได้

6. 6

   ตรวจด้วยฟังก์ชันศักย์โดยตรง เดินจาก $(0,0)\to(0,1)\to(1,2)\to(0,0)$ ค่าของ $\varphi$ คือ $0$, $-1$, $e^2+\tfrac12-4$ แล้วกลับมาที่ $0$ ผลรวมของผลต่างทั้งสามช่วงหักล้างกันเหลือ $0$ ยืนยันผลที่ได้จากทฤษฎีบทของกรีน