จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์ 3(1 + t²) dy/dt = 2ty(y³ − 1)

Step-by-step solution

1. 1

   หาคำตอบสมดุลก่อน ข้างขวาเป็นศูนย์เมื่อ $y=0$ หรือ $y^3=1$ และ $y$ ที่เป็นค่าคงตัวจะมี $\tfrac{dy}{dt}=0$ ดังนั้น

   $y\equiv 0\qquad\text{และ}\qquad y\equiv 1$

   ต่างก็เป็นคำตอบของสมการนี้ การหาคำตอบเหล่านี้ตั้งแต่ต้นมีความสำคัญ เพราะการแทนค่าข้างล่างจะหารด้วย $y$

2. 2

   สังเกตว่ามันมีรูปแบบแบร์นูลลี หารด้วย $3(1+t^2)$ แล้วกระจายข้างขวา

   $\frac{dy}{dt}+\frac{2t}{3(1+t^2)}\,y=\frac{2t}{3(1+t^2)}\,y^{4}$

   นี่คือสมการแบร์นูลลีที่มีเลขชี้กำลัง $n=4$ และยาแก้มาตรฐานคือ $v=y^{1-n}=y^{-3}$

3. 3

   แทนค่า $v=y^{-3}$ จะได้ $\dfrac{dv}{dt}=-3y^{-4}\dfrac{dy}{dt}$ และเมื่อใช้ $\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{2ty(y^3-1)}{3(1+t^2)}$

   $\frac{dv}{dt}=-3y^{-4}\cdot\frac{2ty(y^3-1)}{3(1+t^2)}=-\frac{2t\left(1-y^{-3}\right)}{1+t^2}$

   ดังนั้น

   $\frac{dv}{dt}-\frac{2t}{1+t^2}\,v=-\frac{2t}{1+t^2}$

   สังเกตเครื่องหมาย: สัมประสิทธิ์ของ $v$ เป็น ลบ การทำให้มันเป็นบวกคือความผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดในโจทย์ข้อนี้ และมันจะพลิกคำตอบสุดท้าย

4. 4

   หาตัวประกอบปริพันธ์ เมื่อ $P(t)=-\dfrac{2t}{1+t^2}$

   $\mu(t)=\exp\!\left(\int P\,dt\right)=\exp\left(-\ln\left(1+t^2\right)\right)=\frac{1}{1+t^2}$

   การคูณตลอดทั้งสมการเปลี่ยนข้างซ้ายให้เป็นอนุพันธ์ก้อนเดียว

   $\frac{d}{dt}\left(\frac{v}{1+t^2}\right)=-\frac{2t}{\left(1+t^2\right)^2}$

5. 5

   อินทิเกรตทั้งสองข้าง ข้างขวาเองก็เป็นการแทนค่า ($u=1+t^2$)

   $\int-\frac{2t}{\left(1+t^2\right)^2}\,dt=\frac{1}{1+t^2}+C$

   ดังนั้น $\dfrac{v}{1+t^2}=\dfrac{1}{1+t^2}+C$ นั่นคือ

   $v=1+C\left(1+t^2\right)$

6. 6

   กลับไปหา $y$ แล้วตรวจสอบ เนื่องจาก $v=y^{-3}$

   $\frac{1}{y^{3}}=1+C\left(1+t^{2}\right)\quad\Longrightarrow\quad y=\left[1+C\left(1+t^{2}\right)\right]^{-1/3}$

   ตรวจด้วยตัวเลขเมื่อ $C=0.7$ ที่ $t=1.7$: ข้างซ้าย $3(1+t^2)y'=-1.60448567$ และข้างขวา $2ty(y^3-1)=-1.60448567$ $\checkmark$ (เมื่อ $C=0$ จะได้คำตอบสมดุล $y\equiv1$ กลับคืนมา)