จงหาคำตอบ x(t) ทั้งหมดของสมการเชิงอนุพันธ์ x-dot = 4t x²

Step-by-step solution

1. 1

   สังเกตว่าสมการนี้แยกตัวแปรได้ ข้างขวาแยกเป็น (ฟังก์ชันของ $t$) คูณ (ฟังก์ชันของ $x$) คือ $4t\cdot x^2$ ซึ่งเป็นเงื่อนไขของการแยกตัวแปรพอดี

2. 2

   แยกตัวแปรแล้วอินทิเกรต โดยสมมติว่า $x\ne 0$ เพื่อให้การหารทำได้อย่างถูกต้อง $\frac{dx}{x^2}=4t\,dt\ \Longrightarrow\ \int x^{-2}\,dx=\int 4t\,dt\ \Longrightarrow\ -\frac1x=2t^2+C_0.$

3. 3

   แก้หา $x$ คูณด้วย $-1$ ได้ $\dfrac1x=-2t^2-C_0$ เขียน $C=-C_0$ เพื่อกลืนเครื่องหมายเข้าไป $x(t)=\frac{1}{C-2t^2},\qquad C\in\mathbb{R}.$ คำตอบแต่ละตัวมีอยู่เฉพาะบนช่วงที่ $C-2t^2\ne 0$ เท่านั้น สำหรับ $C>0$ กราฟจะพุ่งไปอนันต์ที่ $t=\pm\sqrt{C/2}$

4. 4

   กู้คำตอบที่การแยกตัวแปรโยนทิ้งไป การหารด้วย $x^2$ แอบสมมติว่า $x\ne 0$ ลองทดสอบ $x(t)\equiv 0$ โดยตรง: $\dot{x}=0$ และ $4tx^2=0$ จึงสอดคล้องกับสมการ นี่คือคำตอบจริง และไม่ได้อยู่ในรูป $1/(C-2t^2)$ สำหรับค่า $C$ จำกัดใด ๆ

5. 5

   ตรวจตระกูลคำตอบ หาอนุพันธ์ของ $x=(C-2t^2)^{-1}$ ได้ $\dot{x}=-(C-2t^2)^{-2}(-4t)=\dfrac{4t}{(C-2t^2)^2}=4tx^2$ ตรงตามที่ต้องการ

6. 6

   เขียนเซตคำตอบให้ครบถ้วน $x(t)\equiv 0\qquad\text{หรือ}\qquad x(t)=\frac{1}{C-2t^2}\ \ (C\in\mathbb{R}),$ โดยแต่ละคำตอบอยู่บนช่วงใหญ่สุดที่ตัวส่วนไม่เข้าใกล้ศูนย์