อนุพันธ์ vs ดิฟเฟอเรนเชียล

อนุพันธ์ และ ดิฟเฟอเรนเชียล เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิดแต่แตกต่างกัน และการสับสนทั้งสองเป็นที่มาของข้อผิดพลาดแคลคูลัสเล็ก ๆ จำนวนมาก

อนุพันธ์

อนุพันธ์ $f'(x)$ (หรือ $\frac{dy}{dx}$) เป็น ฟังก์ชัน ที่ให้อัตราการเปลี่ยนแปลงของ $f$ ที่แต่ละ $x$ สำหรับ $f(x) = x^2$, $f'(x) = 2x$

เชิงตัวเลข: ที่ $x = 3$, $f'(3) = 6$ — ความชันของเส้นสัมผัสที่จุดนั้น

ดิฟเฟอเรนเชียล

ดิฟเฟอเรนเชียล $dy$ คือ การเปลี่ยนแปลงเล็กยิ่ง ใน $y$ ที่สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงเล็กยิ่ง $dx$ ใน $x$:

$dy = f'(x) \, dx$

สำหรับ $y = x^2$: $dy = 2x \, dx$

ดิฟเฟอเรนเชียลให้คุณเขียนอนุพันธ์เป็น อัตราส่วน ของปริมาณเล็กยิ่ง — มีประโยชน์ใน การแทนค่า (การแทน $u$ ในอินทิกรัล: $du = u'(x) dx$) และใน การแยกตัวแปร สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์

เมื่อใดที่ความแตกต่างสำคัญ

ในอินทิกรัล: $\int 2x \, dx$ ใช้ดิฟเฟอเรนเชียล $dx$ ไม่ใช่อนุพันธ์

ในการหาอนุพันธ์โดยปริยาย: จาก $x^2 + y^2 = 25$ หาดิฟเฟอเรนเชียล: $2x \, dx + 2y \, dy = 0$ แล้วแก้หา $\frac{dy}{dx}$

ในฟิสิกส์: $dW = F \, dx$ (งานในรูปดิฟเฟอเรนเชียล) ไม่ใช่ "งานเท่ากับอนุพันธ์ของแรง"

การประมาณเชิงเส้น

$dy$ ยังทำหน้าที่เป็น การประมาณเชิงเส้น ของ $\Delta y$ (การเปลี่ยนแปลงจริง) สำหรับ $dx$ เล็ก:

$\Delta y \approx dy = f'(x) \, dx$

นี่คือพื้นฐานของการแพร่ความคลาดเคลื่อน วิธีนิวตัน และรากฐานการประมาณเชิงเส้นของแคลคูลัสทั้งหมด

ข้อสรุป

ใช้ อนุพันธ์ $f'(x)$ เมื่อคุณต้องการอัตรา / ฟังก์ชัน ใช้ ดิฟเฟอเรนเชียล $dy = f'(x) dx$ เมื่อคุณต้องการการเปลี่ยนแปลงเล็กยิ่ง โดยเฉพาะในอินทิกรัล การแทนค่า หรือสมการเชิงอนุพันธ์