พื้นฐานความน่าจะเป็น: กฎ การจัดหมู่ และตัวอย่าง

ความน่าจะเป็นทำให้ความไม่แน่นอนกลายเป็นปริมาณ ข่าวดีคือ โจทย์การบ้านส่วนใหญ่ลดรูปลงเหลือกฎเพียงไม่กี่ข้อและความเต็มใจที่จะนับอย่างรอบคอบ คู่มือนี้ครอบคลุมพื้นฐานที่คุณต้องมีก่อนจะก้าวต่อไปยังการแจกแจง การทดสอบสมมติฐาน หรือการอนุมานแบบเบส์

"ความน่าจะเป็น" หมายความว่าอย่างไร

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $A$ คือ

$P(A) = \frac{\text{ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ตามต้องการ}}{\text{ผลลัพธ์ทั้งหมด}}$

โดยสมมติว่าผลลัพธ์ทุกอย่างมีโอกาสเท่ากัน $P(A) \in [0, 1]$:

• $0$ = เป็นไปไม่ได้
• $1$ = แน่นอน
• $0.5$ = การโยนเหรียญ

สำหรับผลลัพธ์ที่ไม่ได้มีโอกาสเท่ากัน คุณกำหนดน้ำหนักให้แต่ละผลลัพธ์ (นี่คือสิ่งที่การแจกแจงความน่าจะเป็นทำ)

กฎหลักสามข้อ

กฎการบวก (ความน่าจะเป็นของ A หรือ B)

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

ลบส่วนตัดออกเพื่อไม่ให้นับซ้ำ ถ้า $A$ และ $B$ เป็น เหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน (เกิดทั้งคู่ไม่ได้) ส่วนตัดจะเป็นศูนย์

ตัวอย่าง: จั่วไพ่จากสำรับ 52 ใบ $P(\text{คิงหรือโพแดง}) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13$ (ไพ่หนึ่งใบเป็นทั้งคิงและโพแดง จึงต้องลบออก)

กฎการคูณ (ความน่าจะเป็นของ A และ B)

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

ถ้า $A$ และ $B$ เป็น อิสระต่อกัน (อันหนึ่งไม่กระทบอีกอัน) $P(B | A) = P(B)$ ลดรูปเหลือ $P(A) \cdot P(B)$

ตัวอย่าง: ทอยลูกเต๋าสองลูก $P(\text{ได้ 6 ทั้งคู่}) = 1/6 \cdot 1/6 = 1/36$ (การทอยเป็นอิสระต่อกัน)

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

ความน่าจะเป็นของ $B$ เมื่อกำหนดว่า $A$ เกิดขึ้นแล้ว เป็นรากฐานของ ทฤษฎีบทเบส์ และสถิติเชิงอนุมานส่วนใหญ่

ตัวอย่าง: ไพ่ที่จั่วได้เป็นไพ่หน้า ความน่าจะเป็นที่มันเป็นคิงคือเท่าไร

• $P(\text{คิงและไพ่หน้า}) = 4/52$
• $P(\text{ไพ่หน้า}) = 12/52$
• $P(\text{คิง | ไพ่หน้า}) = (4/52) / (12/52) = 4/12 = 1/3$

การนับ: การเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่

สำหรับ $n$ สิ่งเลือก $r$:

• การเรียงสับเปลี่ยน (ลำดับสำคัญ): $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$
• การจัดหมู่ (ลำดับไม่สำคัญ): $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

การตัดสินใจคือ "การสลับสองสิ่งที่เลือกไว้ทำให้ผลต่างกันหรือไม่":

• ใช่ (เช่น เหรียญทองกับเหรียญเงิน) → การเรียงสับเปลี่ยน
• ไม่ (เช่น เลือกกรรมการ 5 คน) → การจัดหมู่

ตัวอย่างที่แก้แล้ว: ลอตเตอรี

เลือก 6 ตัวเลขจาก 49 ลำดับบนตั๋วของคุณไม่สำคัญ — เป็นการจัดหมู่

$\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13,983,816$

ดังนั้น $P(\text{ถูกแจ็กพอต 6 ตัวเลข}) = 1/13{,}983{,}816 \approx 7.15 \times 10^{-8}$

อิสระต่อกัน กับ ไม่เกิดร่วมกัน (อย่าสับสนทั้งสอง!)

• อิสระต่อกัน: การรู้ $A$ ไม่เปลี่ยน $P(B)$ การโยนเหรียญเป็นอิสระต่อกัน
• ไม่เกิดร่วมกัน: $A$ และ $B$ เกิดทั้งคู่ไม่ได้ การทอยลูกเต๋าเป็นทั้ง 1 และ 2 พร้อมกันไม่ได้

เหตุการณ์สองเหตุการณ์อาจเป็นอย่างหนึ่ง อีกอย่างหนึ่ง ทั้งสอง หรือไม่เป็นทั้งคู่ มันไม่ใช่แนวคิดเดียวกัน แม้จะมักถูกสับสนกันบ่อย ๆ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

• ความเข้าใจผิดของนักพนัน: "ฉันโยนได้หัว 5 ครั้งติด ครั้งต่อไปต้องเป็นก้อย" การโยนเหรียญเป็นอิสระต่อกัน — อดีตไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็นในอนาคต
• การบวกความน่าจะเป็นที่เกิดร่วมกันได้ โดยไม่ลบส่วนตัด $P(\text{คิง}) + P(\text{โพแดง}) \neq P(\text{คิงหรือโพแดง})$
• การสับสน $P(A | B)$ กับ $P(B | A)$ ความเข้าใจผิดแบบอัยการที่คลาสสิก: "เมื่อกำหนดว่าจำเลยบริสุทธิ์ โอกาสที่จะมีหลักฐานนี้มีน้อย ดังนั้นเมื่อกำหนดหลักฐาน โอกาสที่จะบริสุทธิ์จึงมีน้อย" ผิดทางตรรกะหากไม่นำทฤษฎีบทเบส์มาใช้

ลองด้วยตัวเอง

ใส่โจทย์ความน่าจะเป็นใด ๆ ลงในเครื่องคิดเลขความน่าจะเป็น — การบวก การคูณ แบบมีเงื่อนไข พร้อมการจัดหมู่ AI จะพาคุณไปทีละขั้น

ที่เกี่ยวข้อง:

• อภิธานศัพท์: ทฤษฎีบทเบส์
• เปรียบเทียบ: การเรียงสับเปลี่ยนกับการจัดหมู่
• สรุปสูตรสถิติ