การแยกเศษส่วนย่อย: ขั้นตอนการทำงานแบบครบถ้วน

การแยกเศษส่วนย่อยคือทักษะเชิงพีชคณิตที่ทำให้คุณหาปริพันธ์ของฟังก์ชันตรรกยะใด ๆ บนโลกนี้ได้ แทนที่จะต่อสู้กับเศษส่วนน่าเกลียดก้อนเดียว คุณแยกมันออกเป็นชิ้นส่วนที่หาปริพันธ์ทีละพจน์ได้ง่าย คู่มือนี้พาเดินผ่านทุกกรณีที่คุณจะได้เจอ

การตั้งโจทย์

ฟังก์ชันตรรกยะคือ $\frac{P(x)}{Q(x)}$ โดยที่ $P, Q$ เป็นพหุนาม การแยกเศษส่วนย่อยใช้ได้เฉพาะเมื่อ ดีกรีของ $P$ < ดีกรีของ $Q$ ถ้าไม่เป็นเช่นนั้น ให้ทำการหารยาวพหุนามก่อนเพื่อแยกส่วนที่เป็นพหุนามออกมา

หลังจากหารแล้ว ให้แยกตัวประกอบ $Q(x)$ ให้สมบูรณ์บนจำนวนจริง ตัวประกอบทุกตัวจะตกอยู่ในหนึ่งในสี่ประเภท

สี่กรณี

กรณีที่ 1: ตัวประกอบเชิงเส้นที่ต่างกัน

ถ้า $Q(x) = (x - a)(x - b)$ ให้เขียน:

$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$

ตัวอย่าง แยก $\frac{5x - 1}{(x - 1)(x + 2)}$

คูณตลอด: $5x - 1 = A(x + 2) + B(x - 1)$

แทน $x = 1$: $4 = 3A \Rightarrow A = 4/3$
แทน $x = -2$: $-11 = -3B \Rightarrow B = 11/3$

ดังนั้น $\frac{5x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{4/3}{x-1} + \frac{11/3}{x+2}$

กรณีที่ 2: ตัวประกอบเชิงเส้นซ้ำ

สำหรับ $(x - a)^k$ คุณต้องมีหนึ่งพจน์ต่อหนึ่งกำลังจนถึง $k$:

$\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x-a)^k}$

กรณีที่ 3: ตัวประกอบกำลังสองที่แยกตัวประกอบไม่ได้

สำหรับแต่ละ $x^2 + bx + c$ ที่แยกตัวประกอบไม่ได้ ให้ใช้ตัวเศษที่มีตัวไม่รู้ค่าสองตัว:

$\frac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$

กรณีที่ 4: กำลังสองที่แยกตัวประกอบไม่ได้แบบซ้ำ

แนวคิดเหมือนกรณีที่ 2 แต่แต่ละกำลังจะได้รูป $Bx + C$

การประยุกต์กับการหาปริพันธ์

เมื่อแยกแล้ว ให้หาปริพันธ์ทีละพจน์:

• $\int \frac{1}{x - a} dx = \ln|x - a| + C$
• $\int \frac{1}{(x - a)^k} dx = \frac{-1}{(k-1)(x-a)^{k-1}} + C$ สำหรับ $k > 1$
• $\int \frac{Bx + C}{x^2 + bx + c} dx$ แยกออกเป็นส่วน $\ln$ และส่วน $\arctan$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

• ลืมทำการหารยาวก่อนเมื่อดีกรีของ $P$ ≥ ดีกรีของ $Q$
• ข้ามพจน์ซ้ำ — $(x - 1)^3$ ต้องใช้เศษส่วนแยกสามตัว
• พยายามแยกตัวประกอบกำลังสองที่แยกไม่ได้ — ตรวจสอบดิสคริมิแนนต์ก่อนจะฝืนหารากจริง

ลองใช้กับตัวแก้ปริพันธ์ AI

ตัวแก้ปริพันธ์ จะทำการแยกเศษส่วนย่อยให้โดยอัตโนมัติเมื่อจำเป็น และแสดงทุกขั้นตอน

อ้างอิงที่เกี่ยวข้อง:

• เครื่องคิดเลขแยกตัวประกอบ — สำหรับแยก $Q(x)$ ออกจากกัน
• เครื่องคิดเลขพหุนาม — สำหรับการตั้งโจทย์หารยาว
• เครื่องคิดเลขลิมิต — ใช้ในเคล็ดลับตรวจสอบ PFD บางอย่าง