การเขียนกราฟฟังก์ชันตรรกยะ: เส้นกำกับ จุดเว้นว่าง และจุดตัดแกน

ฟังก์ชันตรรกยะ $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ สร้างกราฟที่มีเอกลักษณ์ที่สุดบางส่วนในพีชคณิต — กิ่งที่แยกออกสู่อนันต์ จุดเว้นว่างที่คุณมองไม่เห็นในตอนแรก และเส้นกำกับที่เส้นโค้งเข้าใกล้ตลอดไปโดยไม่ตัดผ่าน คู่มือนี้ให้รายการตรวจสอบเพื่อเขียนกราฟฟังก์ชันตรรกยะใด ๆ

ขั้นตอนการทำงาน 5 ขั้น

1. แยกตัวประกอบของตัวเศษและตัวส่วนให้สมบูรณ์
2. ระบุจุดเว้นว่าง ที่ตัวประกอบร่วม (ตัดออก แต่ทำเครื่องหมายค่า x เหล่านั้นเป็นจุดเว้นว่าง)
3. เส้นกำกับแนวตั้ง ที่ศูนย์ที่เหลือของตัวส่วน
4. เส้นกำกับแนวนอนหรือแนวเฉียง จากการเปรียบเทียบดีกรี
5. จุดตัดแกน: จุดตัดแกน y ที่ $f(0)$ หากนิยามได้ จุดตัดแกน x ที่ศูนย์ของตัวเศษที่ลดรูปแล้ว

ทีละขั้นกับ $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - x - 6}$

แยกตัวประกอบ

$f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-3)(x+2)}$

ไม่มีตัวประกอบร่วม → ไม่มีจุดเว้นว่าง

เส้นกำกับแนวตั้ง

ศูนย์ของตัวส่วนคือ $x = 3$ และ $x = -2$ มีเส้นกำกับแนวตั้งสองเส้น

เส้นกำกับแนวนอน

ดีกรีของตัวเศษ (2) = ดีกรีของตัวส่วน (2) เส้นกำกับแนวนอนคือ อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ: $y = 1/1 = 1$

จุดตัดแกน

• $f(0) = (-1)(1)/((-3)(2)) = -1 / -6 = 1/6$ จุดตัดแกน y: $(0, 1/6)$
• ศูนย์ของตัวเศษ: $x = 1$ และ $x = -1$ จุดตัดแกน x อยู่ที่ตำแหน่งเหล่านั้น

ร่างกราฟ

เส้นกำกับแนวตั้งสองเส้นแบ่งแกน x ออกเป็นสามช่วง ในแต่ละช่วง ทดสอบจุดตัวอย่างเพื่อดูว่า $f$ เป็นบวกหรือลบ กราฟเข้าใกล้ $y = 1$ เมื่อ $x \to \pm\infty$ และผ่านจุดตัดแกนที่หาได้ข้างต้น

กฎเส้นกำกับในตารางเดียว

เปรียบเทียบดีกรี	ชนิดเส้นกำกับ
deg(P) < deg(Q)	$y = 0$ แนวนอน
deg(P) = deg(Q)	$y = a/b$ แนวนอน (อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ)
deg(P) = deg(Q) + 1	เส้นกำกับแนวเฉียง (ทำการหารยาวพหุนาม)
deg(P) ≥ deg(Q) + 2	ไม่มีแนวนอน/แนวเฉียง ปลายกราฟพุ่งออกแบบพหุนาม

ตัวอย่างที่ทำให้ดู: จุดเว้นว่าง

$g(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$

ตัดออก: $g(x) = x + 2$ สำหรับ $x \ne 2$ เขียนกราฟเส้นตรง $y = x + 2$ พร้อม วงกลมเปิดที่ $(2, 4)$ — นั่นคือจุดเว้นว่าง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

• ลืมจุดเว้นว่าง — การตัดตัวประกอบออกจะกำจัดเส้นกำกับแนวตั้งแต่ทิ้งจุดเว้นว่างไว้
• ใช้กฎเส้นกำกับแนวนอนผิด เมื่อดีกรีต่างกัน
• คิดว่ากราฟไม่เคยตัดเส้นกำกับแนวนอน — มันมักตัด เพียงแต่ไม่เคยตัดเมื่อ $x \to \pm\infty$

ลองกับตัวแก้สมการ AI

ใส่ฟังก์ชันตรรกยะของคุณลงใน ตัวแก้สมการ เพื่อแยกตัวประกอบและระบุศูนย์ / ขั้วโดยอัตโนมัติ

อ้างอิงที่เกี่ยวข้อง:

• เครื่องคำนวณพหุนาม — สำหรับขั้นการหารยาวในกรณีเส้นกำกับแนวเฉียง
• เครื่องคำนวณการแยกตัวประกอบ — รากฐานของขั้นที่ 1
• เครื่องคำนวณลิมิต — เส้นกำกับคือลิมิตที่อนันต์