Калькулятор формулы середины отрезка

Формула середины отрезка находит точку ровно посередине между двумя заданными точками. Это просто среднее координат:

2D-форма — для точек $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

3D-форма — для точек $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$:

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right)$

Почему усреднение работает: середина делит отрезок в отношении $1:1$, и координаты любой точки на отрезке — взвешенные средние концов. С равными весами (по $1/2$) получается обычное среднее арифметическое.

Формула середины отрезка постоянно встречается в координатной геометрии: нахождение центра окружности по её диаметру, центроида треугольника, параллелограммов, серединных перпендикуляров и любой задачи с понятием «посередине между».

Пошагово

1. Определите две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$.
2. Усредните x-координаты: $\frac{x_1 + x_2}{2}$.
3. Усредните y-координаты: $\frac{y_1 + y_2}{2}$.
4. Объедините в середину $(M_x, M_y)$.

Никакого вычитания, квадратов или корней — намного проще формулы расстояния.

Обратная задача: найти конец по середине

Если $M = (M_x, M_y)$ — середина отрезка с концами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно найти любой конец:

$x_2 = 2 M_x - x_1, \quad y_2 = 2 M_y - y_1$

Удвойте середину, вычтите известный конец.

Обобщение: формула деления отрезка

Для точки, делящей отрезок в отношении $m : n$ (не только $1:1$):

$P = \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n}\right)$

Формула середины — это частный случай $m = n = 1$.

Геометрические применения

• Центр окружности по концам диаметра: просто середина.
• Центроид треугольника: среднее всех трёх координат вершин (обобщает середину на 3 точки).
• Серединный перпендикуляр: прямая через середину, перпендикулярная исходному отрезку.
• Диагонали параллелограмма: середины обеих диагоналей совпадают — полезно для доказательства, что четырёхугольник является параллелограммом.

• Вычитают вместо сложения: середина усредняет — $\frac{x_1 + x_2}{2}$, а не $\frac{x_2 - x_1}{2}$. Вычитание относится к формуле расстояния.
• Забывают разделить каждую координату: делитель 2 применяется отдельно к сумме x и сумме y. Это не одно деление в конце.
• Ошибки знака с отрицательными координатами: $\frac{-3 + 7}{2} = 2$, а не $-2$ или $5$. Складывайте внимательно.
• Смешивают формулы середины и углового коэффициента: середина усредняет, угловой коэффициент вычитает. Они выглядят похоже, но отвечают на разные вопросы.
• Забывают обновить для 3D: если задача в 3D, включите среднее z. Если 2D, не добавляйте фантомное z.