Подобные и равные треугольники: когда одинаковая форма важнее одинакового размера

Студенты, изучающие геометрию, путают подобные и равные треугольники едва ли не в каждом втором доказательстве. Различие невелико, но критично: подобные треугольники имеют одинаковую форму; равные треугольники имеют одинаковую форму и размер. Это руководство расставляет всё по местам с признаками, разобранными примерами и советами по доказательствам.

Два определения

• Подобные ($\triangle ABC \sim \triangle DEF$): все три пары соответственных углов равны, и все три пары соответственных сторон находятся в одном и том же отношении.
• Равные ($\triangle ABC \cong \triangle DEF$): все три пары соответственных углов равны, и все три пары соответственных сторон равны по длине.

Таким образом, равенство — это подобие с коэффициентом = 1.

Четыре признака равенства

Чтобы доказать равенство, не нужно проверять все шесть элементов (3 стороны + 3 угла). Достаточно любого из этих признаков:

1. SSS — три пары сторон равны.
2. SAS — две стороны и угол между ними равны.
3. ASA — два угла и прилежащая к ним сторона равны.
4. AAS — два угла и не прилежащая сторона равны.

Замечание: SSA не является корректным признаком равенства (так называемый «неоднозначный случай»). Два треугольника могут совпадать по SSA и всё же различаться.

Три признака подобия

Для подобия нужна только форма:

1. AA — две пары соответственных углов равны (третья пара следует автоматически, так как сумма углов равна 180°).
2. SSS — три пары сторон в одном и том же отношении.
3. SAS — две пары сторон в одном и том же отношении при равном угле между ними.

AA используется чаще всего, поскольку углы обычно проще всего измерить.

Разобранный пример: косвенное измерение высоты

Вы не можете напрямую измерить флагшток, но можете измерить палку длиной 6 футов и её тень длиной 4 фута. Тень флагштока в то же время суток равна 30 футам. Какова его высота?

Оба треугольника прямоугольные и имеют один и тот же угол падения солнца, поэтому они подобны по признаку AA.

$\frac{\text{высота флагштока}}{30} = \frac{6}{4} \Rightarrow \text{высота флагштока} = 45 \text{ футов}$

Этот приём — сравнение подобных треугольников, образованных солнечным светом, — то, как Эратосфен измерил окружность Земли около 240 г. до н. э.

Масштабирование площади и периметра

Если два треугольника подобны с коэффициентом $k$:

• Периметр масштабируется с коэффициентом $k$.
• Площадь масштабируется с коэффициентом $k^2$.

Поэтому удвоение каждой стороны учетверяет площадь. Обобщается на все плоские фигуры.

Типичные ошибки

• SSA не доказывает равенство — будьте внимательны на тестах с выбором ответа.
• Перечисление вершин в неверном порядке при записи $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ — порядок важен! Эта запись означает $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$.
• Использование равных сторон для подобия, когда нужно проверять отношения.

Попробуйте с ИИ-решателем треугольников

Подставьте данные любых двух треугольников в решатель треугольников и проверьте своё рассуждение о подобии / равенстве.

Связанные ссылки:

• Калькулятор площади — удобен для правила масштабирования $k^2$
• Калькулятор периметра — линейное правило $k$
• Калькулятор тригонометрии — подходы, основанные на углах