Слой из арамидных волокон в эпоксидной смоле содержит 75% волокон по объёму. Используя обратное правило смесей, найдите модуль сдвига G₁₂, если модуль сдвига волокна 27 ГПа, а матрицы 6 ГПа. Ответ округлите до сотых.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбираем сериальную (обратную) форму. При сдвиге в плоскости слоя волокна не нагружаются вдоль своей длины, поэтому волокно и матрица испытывают одинаковое напряжение сдвига, а их деформации складываются. Это соответствует соединению по типу последовательного включения, где складываются не модули, а податливости:

   $\frac{1}{G_{12}}=\frac{V_f}{G_f}+\frac{V_m}{G_m}.$

2. 2

   Записываем объемные доли. Арамид занимает $75\%$, значит

   $V_f=0.75,\qquad V_m=1-0.75=0.25.$

3. 3

   Вычисляем оба слагаемых податливости.

   $\frac{V_f}{G_f}=\frac{0.75}{27}=0.0277778\ \text{ГПа}^{-1},\qquad \frac{V_m}{G_m}=\frac{0.25}{6}=0.0416667\ \text{ГПа}^{-1}.$

   Следует обратить внимание, что вклад матрицы больше, несмотря на меньшую долю — в последовательной модели мягкая фаза определяет поведение.

4. 4

   Складываем и инвертируем.

   $\frac{1}{G_{12}}=0.0277778+0.0416667=0.0694444\ \text{ГПа}^{-1},$
   $G_{12}=\frac{1}{0.0694444}=14.40\ \text{ГПа}.$

   Обратная величина получается точно: $0.0694444=\tfrac{1}{14.4}$.

5. 5

   Проверяем физическую осмысленность результата. $G_{12}$ должен лежать между $G_m=6$ и $G_f=27$, причём ближе к меньшему значению. $14.40$ этим условиям удовлетворяет. Для сравнения: параллельное (обычное) правило смесей дало бы $0.75(27)+0.25(6)=21.75\ \text{ГПа}$ — заметно жёстче и не подходит для сдвига.