Кварцевые волокна плотностью 2.2 г/см³ соединены с полиэфирной смолой плотностью 1.25 г/см³, причём кварц составляет 67 % массы композита. Даны Ef = 73 ГПа, Em = 2.72 ГПа, Gf = 8.4 ГПа и Gm = 2.15 ГПа; вычислить поперечную жёсткость E22 и модуль сдвига в плоскости G12 с точностью до одного знака после запятой.

Step-by-step solution

1. 1

   Переведём массовые доли в объёмные. Правила смесей записываются через объёмные доли, поэтому $67\%$ по массе нужно сначала пересчитать. При $W_f=0.67$ и $W_m=0.33$:

   $\frac{W_f}{\rho_f}=\frac{0.67}{2.2}=0.304545,\qquad \frac{W_m}{\rho_m}=\frac{0.33}{1.25}=0.264000$

   $V_f=\frac{0.304545}{0.304545+0.264000}=\frac{0.304545}{0.568545}=0.5357,\qquad V_m=0.4643$

   Обратите внимание: доля волокон падает с $67\%$ по массе до всего лишь $53.6\%$ по объёму, потому что кварц — более плотная фаза.

2. 2

   Для поперечного направления выберем обратное правило (модель Ройсса). При нагружении поперёк волокон волокно и матрица испытывают одинаковое напряжение, а их деформации складываются, поэтому складываются податливости, а не жёсткости:

   $\frac{1}{E_{22}}=\frac{V_f}{E_f}+\frac{V_m}{E_m}$

   Применить здесь прямое правило $E=V_fE_f+V_mE_m$ — классическая ошибка; та формула работает только вдоль волокон.

3. 3

   Вычислим E₂₂.

   $\frac{V_f}{E_f}=\frac{0.5356572}{73}=0.007338,\qquad \frac{V_m}{E_m}=\frac{0.4643428}{2.72}=0.170714$

   $\frac{1}{E_{22}}=0.178052\quad\Longrightarrow\quad E_{22}=5.6163\ \text{ГПа}$

4. 4

   Применим то же правило к модулю сдвига.

   $\frac{1}{G_{12}}=\frac{V_f}{G_f}+\frac{V_m}{G_m}=\frac{0.5356572}{8.4}+\frac{0.4643428}{2.15}=0.063769+0.215973=0.279742$

   $G_{12}=3.5747\ \text{ГПа}$

5. 5

   Округлим до одного знака после запятой.

   $\boxed{E_{22}=5.6\ \text{ГПа},\qquad G_{12}=3.6\ \text{ГПа}}$

6. 6

   Проверим, что оба результата лежат там, где требует физика. Обратное правило смесей всегда даёт значение между двумя исходными и значительно ближе к более слабому: $E_{22}=5.6$ ГПа близко к $E_m=2.72$ ГПа и далеко от $E_f=73$ ГПа, а $G_{12}=3.6$ ГПа лежит между $2.15$ и $8.4$ ГПа. Для контраста: продольная жёсткость составила бы $V_fE_f+V_mE_m=0.5357(73)+0.4643(2.72)=40.4$ ГПа — в семь раз больше, и именно поэтому однонаправленные слоистые материалы столь анизотропны.