Решите относительно x: 1000 = (35)(0.02)(x − 293.15) + (0.6)(5.67e−8)(0.02)(x⁴ − 293.15⁴).

Step-by-step solution

1. 1

   Сворачиваем константы в два коэффициента. Соберём отдельно множители конвекции и излучения:

   $35 \times 0.02 = 0.7, \qquad 0.6 \times 5.67\times10^{-8} \times 0.02 = 6.804\times10^{-10}$

   и уравнение принимает вид

   $1000 = 0.7\,(x - 293.15) + 6.804\times10^{-10}\left(x^4 - 293.15^4\right)$

2. 2

   Раскрываем скобки и приводим к стандартному виду уравнения четвёртой степени. Так как $293.15^4 = 7.38515\times10^{9}$, постоянные вклады равны $0.7 \times 293.15 = 205.205$ и $6.804\times10^{-10} \times 7.38515\times10^{9} = 5.0249$:

   $6.804\times10^{-10}\,x^4 + 0.7x - 1210.23 = 0$

3. 3

   Не останавливаемся на линейной оценке — вот где ловушка. Отбросив член четвёртой степени, получим

   $x \approx \frac{1210.23}{0.7} \approx 1728.9$

   но подстановка сразу показывает, почему это не годится: $6.804\times10^{-10}(1728.9)^4 \approx 6079\ \text{Вт}$ — вшестеро больше всей отводимой мощности. При такой температуре излучение преобладает, а вовсе не пренебрежимо мало, поэтому $1728.9\ \text{К}$ — сильно завышенное значение.

4. 4

   Вместо этого решаем уравнение четвёртой степени численно. Левая часть строго возрастает по $x$ при $x > 0$ (растут и $0.7x$, и $x^4$), поэтому физический корень ровно один, и метод половинного деления сходится надёжно. Отделив корень отрезком от $300$ до $5000$ и деля его пополам, получаем

   $x \approx 947.04\ \text{К}$

5. 5

   Проверяем корень, разделив два механизма потерь. При $x = 947.04\ \text{К}$:

   $\text{конвекция} = 0.7(947.04 - 293.15) = 457.7\ \text{Вт}$

   $\text{излучение} = 6.804\times10^{-10}\left(947.04^4 - 293.15^4\right) = 542.3\ \text{Вт}$

   и $457.7 + 542.3 = 1000.0\ \text{Вт}$ — ровно требуемый тепловой поток. На излучение приходится $54\%$ нагрузки, так что отбросить его было нельзя ни при каких условиях.

6. 6

   Записываем ответ и его физическое прочтение.

   $x \approx 947\ \text{К} \ (\approx 674\ ^\circ\text{C})$

   Общий вывод: как только в балансе соседствуют линейный конвективный член и член с $T^4$, уравнение четвёртой степени приходится решать по-настоящему, потому что излучение растёт настолько круто, что обгоняет конвекцию задолго до перегрева в несколько сотен кельвинов.