Две силы действуют в точке. F_A = 700 Н направлена под углом 30° выше положительного направления оси x. F_B неизвестна по модулю и образует угол θ с отрицательным направлением оси x, так что её горизонтальная составляющая противоположна F_A. Найдите модуль F_B и угол θ, чтобы равнодействующая была 1500 Н и направлена вдоль положительной оси y.

Step-by-step solution

1. 1

   Переходим от векторного уравнения к двум скалярным условиям. Векторное уравнение на плоскости эквивалентно двум уравнениям. Требование «равнодействующая вдоль $+y$» означает, что суммарная $x$-составляющая равна нулю; «равнодействующая $1500$ Н» — что суммарная $y$-составляющая равна $1500$:

   $\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=1500$

   В этом и состоит вся идея — не требуется находить направляющие косинусы равнодействующей, достаточно этих двух строк.

2. 2

   Разлагаем известную силу на составляющие. Для $F_A$ под углом $30^\circ$ к положительному $x$:

   $F_{Ax}=700\cos 30^\circ=606.2178\text{ Н},\qquad F_{Ay}=700\sin 30^\circ=350\text{ Н}$

   Сохраняем дополнительные знаки в $F_{Ax}$; преждевременное округление до $606$ здесь сдвигает итоговый угол примерно на одну десятую градуса.

3. 3

   Подставляем $F_B$ в оба условия. Запишем составляющие $F_B$ как $-F_B\cos\theta$ (противоположно $F_A$) и $+F_B\sin\theta$:

   $606.2178-F_B\cos\theta=0\;\Longrightarrow\;F_B\cos\theta=606.2178$
   $350+F_B\sin\theta=1500\;\Longrightarrow\;F_B\sin\theta=1150$

   Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными — но уравнения нелинейные, поэтому решать их нужно совместно.

4. 4

   Возводим в квадрат и складываем, чтобы найти модуль. Возведение обеих частей в квадрат и сложение уничтожает $\theta$, так как $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$:

   $F_B^2=1150^2+606.2178^2=1322500+367500=1690000$

   $F_B=\sqrt{1690000}=1300\text{ Н}$

   Здесь числа получаются целыми: $606.2178^2=367500$ точно до последней цифры, поэтому $F_B$ выходит аккуратно $1{,}30\times 10^3$ Н.

5. 5

   Делим уравнения, чтобы найти угол. Деление второго уравнения на первое избавляет от $F_B$:

   $\tan\theta=\frac{1150}{606.2178}=1.89702\;\Longrightarrow\;\theta=\arctan(1.89702)=62.2^\circ$

   (Если вместо точного $700\cos 30^\circ$ использовать округлённое $606.2$, получится часто встречающееся $62.3^\circ$; правильное значение с точностью до десятых — $62.2^\circ$.)

6. 6

   Проверяем ответ по обоим условиям. При $F_B=1300$ и $\theta=62.204^\circ$:

   $1300\cos 62.204^\circ=606.2\quad\text{уничтожает }F_{Ax}\;\checkmark$
   $350+1300\sin 62.204^\circ=350+1150=1500\;\checkmark$

   Оба условия выполняются, значит, равнодействующая действительно $1500$ Н строго вверх по оси $y$.