Консольная балка AB длиной 5 м защемлена в точке B. На свободный конец A действует вниз сосредоточенная сила 1800 кН, а равномерно распределённая нагрузка 500 кН/м приложена на участке 4 м, ближайшем к опоре (от 1 м до 5 м от A). Найдите максимальные поперечную силу и изгибающий момент, опишите эпюры Q и M.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим, где достигаются экстремумы. Для консольной балки с только нисходящими нагрузками и поперечная сила, и изгибающий момент возрастают по модулю от нуля на свободном конце до максимума у защемления. Поэтому максимальные значения можно сразу искать в точке $B$, не проверяя внутренние точки.

2. 2

   Заменим распределённую нагрузку её равнодействующей. Равномерная нагрузка действует на участке $4$ м:

   $W=wL_u=500\times 4=2000\ \text{кН}$

   Равнодействующая приложена в центре этого участка, то есть на $2$ м от $B$ (или $3$ м от $A$). Такая замена допустима для расчёта опорных реакций и момента защемления, однако сами эпюры строятся именно по распределённой нагрузке.

3. 3

   Найдём реакции в защемлении. Из условия равновесия по вертикали получаем реакцию:

   $R_B=P+W=1800+2000=3800\ \text{кН}\ (\uparrow)$

   Из условия равновесия моментов относительно $B$ получаем момент защемления:

   $M_B=P\times 5+W\times 2=1800(5)+2000(2)=9000+4000=13000\ \text{кН}\!\cdot\!\text{м}$

4. 4

   Построим эпюру поперечных сил от свободного конца. Пусть $x$ отсчитывается от $A$:

   $0\le x\le 1:\quad V(x)=1800\ \text{кН (постоянно)}$

   $1\le x\le 5:\quad V(x)=1800+500(x-1)\ \text{(прямая)}$

   То есть эпюра Q — горизонтальный участок на $1800$ кН на первом метре, затем линейный рост до $1800+500(4)=3800$ кН у $B$, где реакция замыкает эпюру к нулю.

5. 5

   Построим эпюру изгибающих моментов. Так как $M(x)=\int_0^x V\,dx$ по модулю (отрицательный момент для консоли):

   $0\le x\le 1:\quad M(x)=1800x\ \text{(линейно, до }1800\ \text{кН}\!\cdot\!\text{м при }x=1)$

   $1\le x\le 5:\quad M(x)=1800x+250(x-1)^2\ \text{(парабола)}$

   При $x=5$: $M=9000+250(16)=9000+4000=13000\ \text{кН}\!\cdot\!\text{м}$, что совпадает с моментом защемления, найденным из равновесия.

6. 6

   Запишем максимальные значения.

   $V_{\max}=3800\ \text{кН},\qquad M_{\max}=13000\ \text{кН}\!\cdot\!\text{м}$

   Оба максимума достигаются у защемления $B$, на свободном конце $A$ оба равны нулю.

   $\boxed{V_{\max}=3800\ \text{кН},\quad M_{\max}=13000\ \text{кН}\!\cdot\!\text{м}}$

7. 7

   Проверим двумя способами. Момент у $B$ был найден двумя путями — через статику ($P\cdot 5+W\cdot 2$) и через интегрирование эпюры Q ($1800x+250(x-1)^2$ при $x=5$) — и оба дают $13000\ \text{кН}\!\cdot\!\text{м}$. Совпадение результатов — стандартная проверка правильности построения эпюр.