Найти объём конуса, у которого радиус основания равен 2.2 метра, а угол при вершине осевого сечения равен 60 градусам.

Step-by-step solution

1. 1

   Смотрим, что даёт угол при вершине. В формуле объёма $V = \tfrac13\pi r^2 h$ нужна высота, а её в условии нет. Осевое сечение — равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^{\circ}$; ось делит его на два прямоугольных треугольника с половинным углом

   $\frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$

2. 2

   Связываем радиус и высоту в этом прямоугольном треугольнике. Половинный угол лежит при вершине, радиус ему противолежит, а высота прилежит:

   $\tan 30^{\circ} = \frac{r}{h} \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{r}{\tan 30^{\circ}} = r\sqrt{3}$

3. 3

   Вычисляем высоту.

   $h = 2.2\sqrt{3} = 3.810512\ \text{м}$

   Заметим, что конус выше своего радиуса: угол при вершине $60^{\circ}$ довольно узкий.

4. 4

   Применяем формулу объёма.

   $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (2.2)^2 (3.810512) = \frac{1}{3}\pi (4.84)(3.810512)$

   $V = 19.3133\ \text{м}^3$

5. 5

   Записываем точную форму и проверяем на разумность. Точно: $V = \tfrac13\pi r^3\sqrt3 = \tfrac{\sqrt3}{3}\pi (2.2)^3 = \tfrac{\sqrt3\,\pi}{3}(10.648) \approx 19.313\ \text{м}^3$. Для проверки: описанный цилиндр того же радиуса и той же высоты вмещает $\pi r^2 h = 57.94\ \text{м}^3$, а конус составляет треть от этого — $19.31\ \text{м}^3$.