Найдите объём конуса, диаметр которого равен 2,2 метра, а угол при вершине составляет 60 градусов.

Step-by-step solution

1. 1

   Переходим от диаметра к радиусу.

   $r=\frac{d}{2}=\frac{2.2}{2}=1.1\ \text{м}$

   В формуле объёма участвует радиус, поэтому такой пересчёт должен идти первым.

2. 2

   Разбираемся, что значит «конус с углом 60 градусов». По стандартному соглашению указанный угол — это полный угол при вершине осевого сечения, то есть того треугольника, который виден при разрезе конуса плоскостью через ось. Ось делит этот угол пополам, поэтому половинный угол при вершине равен

   $\frac{60^{\circ}}{2}=30^{\circ}$

3. 3

   Находим высоту по половинному углу. В прямоугольном треугольнике, образованном осью, радиусом основания и образующей, радиус лежит напротив половинного угла $30^{\circ}$, а высота — прилежащий к нему катет:

   $\tan 30^{\circ}=\frac{r}{h}\quad\Rightarrow\quad h=\frac{r}{\tan 30^{\circ}}=r\sqrt3=1.1\sqrt3\approx 1.9052\ \text{м}$

   Подстановка $\tan 30^{\circ}=1/\sqrt3$ сохраняет ответ точным.

4. 4

   Применяем формулу объёма конуса.

   $V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi(1.1)^2\left(1.1\sqrt3\right)=\frac{1.331\sqrt3}{3}\pi\ \text{м}^3$

   поскольку $(1.1)^2=1.21$ и $1.21\times 1.1=1.331$.

5. 5

   Доводим до числа. При $\sqrt3=1.7320508$

   $V=\frac{1.331(1.7320508)}{3}\pi=0.7684532\pi\approx 2.4142\ \text{м}^3$

6. 6

   Сверяемся с описанным цилиндром и отмечаем неоднозначность. Цилиндр того же радиуса и той же высоты вмещает $\pi r^2h=\pi(1.21)(1.9052)=7.2425$ м$^3$, а конус — ровно треть от этого: $7.2425/3=2.4142$ ✓. Для полноты: если бы $60^{\circ}$ понимался как половинный угол, то $h=1.1/\tan 60^{\circ}=0.6351$ м и $V\approx 0.8047$ м$^3$ — разница втрое, и именно поэтому соглашение нужно оговаривать.