Характеристическое сечение наклонного цилиндра — ромб со стороной 2 см и углом 60°. Найдите объём цилиндра.

Step-by-step solution

1. 1

   Вспомним, что наклон не меняет формулу объёма. По принципу Кавальери для любого цилиндра — прямого или наклонного —

   $V = (\text{площадь основания}) \times (\text{высота})$

   причём высота измеряется перпендикулярно основаниям, а не вдоль наклонной оси.

2. 2

   Разберёмся, что такое характеристическое сечение. Это сечение плоскостью, проходящей через ось и перпендикулярной основаниям. Его площадь равна

   $A_{\text{сеч}} = (\text{диаметр основания}) \times (\text{высота}) = 2r \cdot h$

3. 3

   Вычислим площадь ромба. Для ромба со стороной $a$ и углом $\varphi$ между сторонами

   $A_{\text{ромба}} = a^2 \sin\varphi = 2^2 \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\ \text{см}^2$

4. 4

   Свяжем обе величины. Из равенства $2rh = 2\sqrt{3}$ получаем

   $rh = \sqrt{3}$

5. 5

   Используем условие ромба, чтобы найти $r$ и $h$ по отдельности. В осевом сечении две стороны — это диаметр основания $2r$ и образующая длины $L$. У ромба все четыре стороны равны, поэтому

   $2r = L = a = 2 \implies r = 1,\qquad L = 2$

   Тогда перпендикулярная высота равна $h = L\sin\varphi = 2\sin 60^\circ = \sqrt{3}$.

6. 6

   Подставим в формулу объёма.

   $V = \pi r^2 h = \pi (1)^2 \sqrt{3} = \sqrt{3}\,\pi \approx 5.44\ \text{см}^3$

   Быстрая проверка на согласованность: $2rh = 2(1)(\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$, что совпадает с площадью ромба из шага 3.