Перевести цилиндрические координаты (r, θ, z) = (2, 30°, 5) в декартовы координаты.

Step-by-step solution

1. 1

   Вспомним формулы перехода. Цилиндрические координаты — это полярные координаты в плоскости $xy$ с неизменяемой высотой:

   $x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z$

   Третья координата не преобразуется — всё преобразование происходит в плоскости.

2. 2

   Подставим точные значения тригонометрических функций для $30^\circ$.

   $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin 30^\circ=\frac12$

   Использование иррациональных чисел вместо десятичных приближений позволяет сохранить точность ответа.

3. 3

   Выполним вычисления для $x$ и $y$.

   $x=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\approx 1.7321,\qquad y=2\cdot\frac12=1$

4. 4

   Высота переносится без изменений, укажем итоговую точку.

   $(x,y,z)=\left(\sqrt3,\,1,\,5\right)\approx(1.7321,\,1,\,5)$

5. 5

   Проверим обратным преобразованием. Радиус-вектор равен $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{3+1}=2=r\;\checkmark$, а угол $\arctan\!\left(\tfrac{1}{\sqrt3}\right)=30^\circ\;\checkmark$ — точка действительно в первой четверти, как требуют положительные $x$ и $y$. Оба обратных вычисления подтверждают правильность преобразования.