Участок с четырьмя сторонами 15 м, 10,2 м, 4,5 м и 15,3 м. Можно ли найти его площадь только по длинам сторон?

Step-by-step solution

1. 1

   Четырёх сторон недостаточно. В отличие от треугольника, четырёхугольник — не жёсткая фигура: его можно «раскладывать» в разные формы, сохраняя длины сторон. Для одних и тех же четырёх сторон существует бесконечно много четырёхугольников с разной площадью, поэтому формулы, дающей однозначный ответ только по сторонам, не существует.

2. 2

   Что нужно дополнительно? Чтобы однозначно задать четырёхугольник, достаточно одной дополнительной величины: длины одной из диагоналей, одного внутреннего угла, высоты или знания, что фигура — определённого типа (например, трапеция, параллелограмм, вписанный четырёхугольник).

3. 3

   Если известна диагональ, разбиваем на два треугольника. Проведём диагональ $d$ между вершинами с длинами сторон $15$ и $4.5$. Тогда получаются два треугольника: с сторонами $15$, $10.2$, $d$ и с сторонами $4.5$, $15.3$, $d$.

4. 4

   Применяем формулу Герона к каждому треугольнику. Для треугольника со сторонами $a, b, c$ и полупериметром $s = \tfrac{a+b+c}{2}$:

   $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

   Площадь четырёхугольника равна $A = A_1 + A_2$.

5. 5

   Особый случай — вписанный четырёхугольник. Если четырёхугольник вписан в окружность (все вершины лежат на одной окружности), то площадь действительно определяется только сторонами по формуле Брахмагупты:

   $A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

   Это максимальная возможная площадь для данных сторон.