В трапеции ABCD с AB, параллельной CD, боковая сторона BC равна 7 см, а расстояние от точки I — середины боковой стороны AD — до прямой BC равно 4 см. Найдите площадь трапеции.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем, чего не хватает, и перестаём это искать. Ни длины оснований, ни высота трапеции не даны и восстановить их нельзя — под условие подходит бесконечно много трапеций. Значит, площадь должна выражаться только через $BC$ и это единственное расстояние, а это указывает на разбиение площади, а не на обычную формулу «полусумма оснований на высоту».

2. 2

   Разбиваем трапецию из точки $I$. Соединив $I$ с $B$ и с $C$, разрежем трапецию на три треугольника: $IAB$, $IBC$ и $ICD$. Их площади в сумме дают всю фигуру:

   $S_{ABCD} = S_{IAB} + S_{IBC} + S_{ICD}$

3. 3

   Пользуемся серединой, чтобы найти две из трёх высот. Пусть $h$ — высота трапеции, то есть расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $CD$. Так как $I$ — середина $AD$, где $A$ лежит на прямой $AB$, а $D$ — на прямой $CD$, расстояние от $I$ до каждой из этих параллельных прямых равно $h/2$. Отсюда

   $S_{IAB} = \tfrac12 \cdot AB \cdot \tfrac{h}{2}, \qquad S_{ICD} = \tfrac12 \cdot CD \cdot \tfrac{h}{2}$

4. 4

   Складываем их и сравниваем с трапецией. Сумма двух крайних треугольников:

   $S_{IAB} + S_{ICD} = \frac{(AB+CD)h}{4} = \frac{1}{2}\cdot\frac{(AB+CD)h}{2} = \frac{1}{2}S_{ABCD}$

   Два крайних треугольника занимают ровно половину трапеции, значит средний треугольник занимает вторую половину:

   $S_{IBC} = \tfrac12 S_{ABCD}$

5. 5

   Вычисляем средний треугольник по данным условия. У треугольника $IBC$ основание $BC = 7$, а высота равна расстоянию от $I$ до прямой $BC$, то есть $4$:

   $S_{IBC} = \tfrac12 \cdot 7 \cdot 4 = 14\ \text{см}^2$

6. 6

   Удваиваем и получаем площадь трапеции. Поскольку $S_{IBC}$ — половина трапеции,

   $S_{ABCD} = 2 \cdot 14 = 28\ \text{см}^2$

   Численная проверка подтверждает независимость от оснований: если строить трапеции с самыми разными основаниями и высотами, лишь бы выполнялись $BC = 7$ и $\operatorname{dist}(I, BC) = 4$, площадь всякий раз получается равной $28\ \text{см}^2$.