Из внешней точки P к окружности проведены касательная и секущая. Угол при вершине P равен 38 градусам, а ближняя высекаемая дуга равна 64 градусам. Найти дальнюю высекаемую дугу.

Step-by-step solution

1. 1

   Вспомним теорему о внешнем угле. Для любых двух прямых, пересекающихся вне окружности — двух секущих, касательной и секущей или двух касательных, — образованный угол равен половине разности двух высекаемых дуг:

   $\angle P=\frac{1}{2}\left(\text{дальняя дуга}-\text{ближняя дуга}\right)$

   Стоит запомнить контраст: угол с вершиной на окружности равен половине одной дуги, а угол с вершиной внутри окружности — половине суммы двух дуг. Правило определяется положением вершины.

2. 2

   Определим, какая дуга какая. Ближняя дуга — та, что заключена между двумя точками пересечения и расположена ближе к $P$ (здесь $64^{\circ}$); дальняя дуга лежит по другую сторону окружности. Дальняя дуга всегда больше, поэтому ответ обязан превосходить $64^{\circ}$ — полезная проверка ещё до вычислений.

3. 3

   Подставим данные.

   $38=\frac{1}{2}\left(\text{дальняя}-64\right)$

4. 4

   Найдём неизвестную дугу. Умножим обе части на 2, затем прибавим 64:

   $76=\text{дальняя}-64\ \Longrightarrow\ \text{дальняя}=140^{\circ}$

5. 5

   Проверим, что конфигурация непротиворечива. Дальняя дуга $140^{\circ}$ действительно больше ближней $64^{\circ}$ ✓, а вместе они занимают $204^{\circ}$ окружности, оставляя $156^{\circ}$ на две оставшиеся дуги, отсекаемые точкой касания, — величина положительная, значит, чертёж геометрически возможен. Обратная подстановка: $\tfrac12(140-64)=\tfrac12(76)=38^{\circ}$ ✓.