Два равных квадратных листа с диагональю 28 см перекрываются квадратом. Если общая покрытая площадь 720 см², найдите сторону перекрытия.

Step-by-step solution

1. 1

   Находим площадь одного листа по диагонали.

   $A=\frac{d^2}{2}=\frac{28^2}{2}=\frac{784}{2}=392\ \text{см}^2$

2. 2

   Складываем площади двух листов. При этом площадь перекрытия учитывается дважды:

   $392+392=784\ \text{см}^2$

3. 3

   Применяем принцип включения-исключения с учётом общей покрытой площади.

   $|A\cap B|=784-720=64\ \text{см}^2$

4. 4

   Вычисляем сторону квадрата перекрытия.

   $s=\sqrt{64}=8\ \text{см}$

5. 5

   Проверяем решение и отмечаем, когда такой подход не работает. Сторона каждого листа равна $\tfrac{28}{\sqrt2}\approx 19{,}8$ см, что заметно больше $8$ см $\checkmark$, и $784-64=720$ $\checkmark$. Такой метод даёт целое значение стороны только если разность $\tfrac{d^2}{2}\cdot 2-|A\cup B|$ — полный квадрат: например, при $d=24$ и покрытой площади $528$ получаем перекрытие $48$, а его корень иррационален, значит, целого ответа быть не может.