Два равных квадратных листа с диагональю 20 см перекрываются так, что область перекрытия — квадрат. Если общая покрытая площадь равна 384 см², найдите сторону перекрытия.

Step-by-step solution

1. 1

   Переведём диагональ в площадь. Для квадрата с диагональю $d$ используется формула $A=\tfrac{d^2}{2}$:

   $A=\frac{20^2}{2}=\frac{400}{2}=200\ \text{см}^2$

   (Эта формула получается, поскольку диагональ делит квадрат на два равнобедренных прямоугольных треугольника с катетами, равными стороне квадрата.)

2. 2

   Сложим площади двух листов.

   $200+200=400\ \text{см}^2$

3. 3

   Вычтем покрытую площадь, чтобы найти область двойного счёта.

   $|A\cap B|=|A|+|B|-|A\cup B|=400-384=16\ \text{см}^2$

4. 4

   Возьмём квадратный корень, так как перекрытие — квадрат.

   $s=\sqrt{16}=4\ \text{см}$

5. 5

   Проверим соотношения. Сторона каждого квадрата $\tfrac{20}{\sqrt2}\approx 14{,}1$ см, а перекрытие $4$ см — это небольшой уголок, что согласуется с общей площадью $384$, близкой к максимуму $400$ $\checkmark$.