Два одинаковых квадратных листа с диагональю 14 см перекрывают так, что общая часть — квадрат. Если покрытая площадь 160 см², найдите сторону перекрытия.

Step-by-step solution

1. 1

   Вычислим площадь одного квадрата по диагонали. Для квадрата с диагональю $d$ сторона равна $\tfrac{d}{\sqrt2}$, значит, площадь равна

   $A=\left(\frac{d}{\sqrt2}\right)^2=\frac{d^2}{2}$

   Подставим $d=14$:

   $A=\frac{196}{2}=98\ \text{см}^2$

2. 2

   Сложим площади двух листов, учитывая двойной счет перекрытия. Если наложить листы друг на друга, сумма их площадей будет

   $98+98=196\ \text{см}^2$

   но область перекрытия посчитана в обоих листах.

3. 3

   Применим принцип включения-исключения для выделения перекрытия. Фактически покрытая площадь — это объединение:

   $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$

   $160=196-|A\cap B|\quad\Longrightarrow\quad|A\cap B|=36\ \text{см}^2$

4. 4

   Переведём площадь перекрытия в длину стороны. По условию перекрытие — квадрат, значит, его сторона равна корню из площади:

   $s=\sqrt{36}=6\ \text{см}$

5. 5

   Проверим корректность геометрии. Сторона каждого листа $\tfrac{14}{\sqrt2}\approx 9{,}9$ см, сторона перекрытия $6$ см меньше, как и должно быть — $\checkmark$. Обратная проверка: $196-36=160$ $\checkmark$.