Найдите длину отрезка AB, где A — (-1, 1), B — (4, 6). Затем найдите середину отрезка, соединяющего (4, 1) и (16, -1).

Step-by-step solution

1. 1

   Не перепутайте формулы: они похожи, но делают противоположное.

   $d=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}\quad(\text{вычитаем, затем возводим в квадрат}),$
   $M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)\quad(\text{складываем, затем делим пополам}).$

   Длина отрезка использует разности (знак не важен, ведь всё возводится в квадрат), а середина — суммы, поэтому ошибочный знак изменит ответ.

2. 2

   Часть (1): вычислим разности координат.

   $x_2-x_1=4-(-1)=5,\qquad y_2-y_1=6-1=5.$

3. 3

   Часть (1): подставим в формулу длины и упростим радикал.

   $AB=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}\approx 7.071.$

   Одинаковые разности означают, что отрезок образует угол $45^\circ$ с осями, поэтому ответ — красивое число, кратное $\sqrt{2}$.

4. 4

   Часть (2): найдём среднее арифметическое $x$-координат.

   $\frac{4+16}{2}=\frac{20}{2}=10.$

5. 5

   Часть (2): найдём среднее арифметическое $y$-координат, учитывая знак.

   $\frac{1+(-1)}{2}=\frac{0}{2}=0.$

   Значит, середина — $M(10,0)$, то есть точка на оси $x$. Это логично, ведь точки расположены симметрично — одна на единицу выше, другая на единицу ниже оси.

6. 6

   Проверим середину через расстояния. От $(4,1)$ до $(10,0)$: $\sqrt{36+1}=\sqrt{37}$, и от $(10,0)$ до $(16,-1)$ тоже $\sqrt{36+1}=\sqrt{37}$. Равенство расстояний подтверждает, что $M$ действительно середина.