Найдите расстояния между точками A(-1, 1) и B(1, 6), а также между C(5, 0) и D(4, 2). Какой отрезок длиннее?

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем формулу расстояния и отметим, почему знаки не важны. Для точек $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$

   $d=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}.$

   Оба разности возводятся в квадрат, поэтому если поменять порядок вычитания, результат не изменится — это удобно, особенно если среди координат есть отрицательные числа.

2. 2

   Вычислим разности для точек A и B.

   $x_2-x_1=1-(-1)=2,\qquad y_2-y_1=6-1=5.$

   Двойное отрицание — единственное место, где можно ошибиться со знаком: $1-(-1)$ — это $2$, а не $0$.

3. 3

   Находим длину AB.

   $AB=\sqrt{2^{2}+5^{2}}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}\approx 5.385.$

   Число $29$ — простое, поэтому корень не сокращается.

4. 4

   Вычислим разности для C и D, затем найдём CD.

   $x_2-x_1=4-5=-1,\qquad y_2-y_1=2-0=2,$
   $CD=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\approx 2.236.$

   Отрицательная разность при возведении в квадрат исчезает, как и ожидалось.

5. 5

   Сравним. $\sqrt{29}>\sqrt{5}$, так как $29>5$, а функция квадратного корня возрастает, значит, $AB$ — более длинный отрезок, примерно в $2{,}4$ раза длиннее.

6. 6

   Проверим с помощью прямоугольного треугольника. $AB$ — гипотенуза треугольника с катетами $2$ и $5$; $CD$ — гипотенуза треугольника с катетами $1$ и $2$. Формула расстояния — это не что иное, как теорема Пифагора для этих катетов.