В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 6, BC = 8. Точка P движется по BC, не совпадая с B или C, и PC = x. Выразите площадь y треугольника APB как функцию от x и укажите область определения x.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбираем основание так, чтобы высота была известна. Оба $P$ и $B$ лежат на отрезке $BC$, поэтому в качестве основания треугольника $APB$ удобно взять $PB$. Так как $\angle C=90^\circ$, катет $AC$ перпендикулярен $BC$, а значит, и $PB$ — вне зависимости от положения $P$. Высота постоянна:

   $h=AC=6.$

   В этом и состоит идея задачи: движущаяся точка меняет основание, но не высоту.

2. 2

   Записываем основание через x. $P$ находится между $C$ и $B$, $PC=x$, $CB=8$, поэтому

   $PB=BC-PC=8-x.$

3. 3

   Применяем формулу площади треугольника.

   $y=\frac{1}{2}\cdot PB\cdot AC=\frac{1}{2}(8-x)(6)=3(8-x).$

4. 4

   Приводим к требуемому линейному виду.

   $y=24-3x.$

   Площадь убывает с постоянной скоростью $3$ квадратных единицы на каждую единицу, на которую $P$ приближается к $B$, что и соответствует линейной зависимости.

5. 5

   Определяем область x, исходя из геометрии, а не из формулы. $P$ лежит на отрезке $BC$ и не совпадает ни с одним из концов, значит, $PC$ строго между $0$ (в точке $C$) и $8$ (в точке $B$):

   $0<x<8.$

   Оба конца не включаются, поэтому $y$ никогда не достигает крайних значений $24$ или $0$ — при $x=8$ все три точки окажутся на одной прямой, и треугольник исчезнет.