Даны две последовательные вершины квадрата: A(2, −1) и B(−1, 3). Найдите координаты двух остальных вершин.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем вектор стороны по данным вершинам. Так как $A$ и $B$ — именно последовательные вершины, отрезок $AB$ — это сторона квадрата, а не диагональ. Тогда вектор:

   $\overrightarrow{AB}=B-A=(-1-2,\;3-(-1))=(-3,\,4),$

   Длина $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5$. Значит, сторона квадрата равна $5$.

2. 2

   Повернём этот вектор на 90°, чтобы получить соседнюю сторону. В квадрате соседние стороны равны и перпендикулярны — именно это даёт поворот на $90^\circ$. При повороте $(x,y)$ против часовой стрелки получается $(-y,x)$, по часовой — $(y,-x)$. Для $(-3,4)$ получаем два варианта:

   $(-4,-3)\qquad\text{и}\qquad(4,3),$

   Оба вектора длины $5$. Два поворота — значит, существует два возможных квадрата по одну и другую сторону от $AB$. Поэтому задача имеет два ответа.

3. 3

   Случай 1: переносим на $(4,3)$. Прибавим этот вектор к каждой из данных вершин — так сторона $AB$ переносится на противоположную сторону квадрата:

   $D=A+(4,3)=(6,2),\qquad C=B+(4,3)=(3,6).$

   Получаем квадрат с вершинами $A(2,-1)$, $B(-1,3)$, $C(3,6)$, $D(6,2)$.

4. 4

   Случай 2: переносим на $(-4,-3)$. Если взять противоположный поворот, получаем зеркальный квадрат:

   $D=A+(-4,-3)=(-2,-4),\qquad C=B+(-4,-3)=(-5,0).$

   Вершины квадрата: $A(2,-1)$, $B(-1,3)$, $C(-5,0)$, $D(-2,-4)$.

5. 5

   Проверим оба квадрата. В каждом случае все четыре стороны равны $5$, диагонали равны $5\sqrt{2}\approx 7.071$ — равные диагонали длиной сторона$\times\sqrt2$ отличают квадрат от ромба. Скалярное произведение $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ в обоих случаях подтверждает прямые углы.