В треугольнике ABC AB = AC. Высота BH опущена на AC в точку H, высота CK опущена на AB в точку K. Доказать, что BK = CH и KH параллельно BC.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим, что даёт условие задачи. Так как $AB=AC$, треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, значит, углы при основании равны: $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$. Проведённые высоты образуют прямые углы: $\widehat{BHA}=\widehat{BHC}=90^\circ$ и $\widehat{CKA}=\widehat{CKB}=90^\circ$. Всё доказательство строится на симметрии фигуры относительно оси через $A$.

2. 2

   Докажем равенство треугольников $BKC$ и $CHB$. Рассмотрим $\triangle BKC$ и $\triangle CHB$:

   • $\widehat{BKC}=\widehat{CHB}=90^\circ$ (по определению высот),
   • $BC$ — общая гипотенуза,
   • $\widehat{KBC}=\widehat{HCB}$ (равные углы при основании равнобедренного треугольника).

   По признаку равенства по гипотенузе и острому углу $\triangle BKC\cong\triangle CHB$.

3. 3

   Получаем пункт (a). Соответствующие катеты равных треугольников равны, причём $BK$ в первом соответствует $CH$ во втором:

   $BK=CH$

   Это и есть пункт (a). Вдобавок, $CK=BH$ — высоты, опущенные на равные стороны, равны по длине.

4. 4

   Преобразуем равенство в отношение на сторонах. Так как $AB=AC$ и $BK=CH$, вычитая, получаем $AK=AB-BK=AC-CH=AH$. Следовательно,

   $\frac{AK}{AB}=\frac{AH}{AC}$

   — обе дроби равны. Это как раз пропорция, необходимая для применения обратной теоремы Фалеса.

5. 5

   Применим обратную теорему Фалеса для пункта (b). Точки $K$ и $H$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ и делят их в одинаковом отношении, значит, прямая $KH$ параллельна третьей стороне:

   $KH\parallel BC$

   Иначе говоря, $\triangle AKH\sim\triangle ABC$ по признаку подобия по двум сторонам и углу между ними (общий угол при $A$, пропорциональные прилежащие стороны), что влечёт равенство углов $\widehat{AKH}=\widehat{ABC}$ и, следовательно, параллельность.

6. 6

   Проверим с помощью координат. Если взять $B=(-b,0)$, $C=(b,0)$, $A=(0,h)$, то $AB=AC$ автоматически. Вычисления для $H$ и $K$ как оснований высот для случайных $(b,h)$ показывают: $BK=CH$ с точностью до $10^{-9}$, $AK=AH$ также, а $K$ и $H$ всегда имеют одинаковую $y$-координату — значит, $KH$ горизонтальна, как и $BC$ ✓.