В треугольнике ABC: AB = 30 см, AC = 45 см, BC = 50 см. Биссектриса угла A пересекает BC в точке D. (a) Найдите BD и CD. (b) Через D проведены DE параллельно AB (E на AC) и DF параллельно AC (F на AB). Найдите DE и DF.

Step-by-step solution

1. 1

   Применим теорему биссектрисы. Внутренняя биссектриса из $A$ делит противоположную сторону в отношении двух прилежащих сторон:

   $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$

   Важно: берётся отношение именно прилежащих сторон, а не других, и точка деления не середина — биссектриса ближе к меньшей стороне.

2. 2

   Преобразуем отношение в длины. Пусть $BD=2x$, $CD=3x$. Так как $D$ лежит на отрезке $BC$, сумма частей равна всей стороне:

   $2x+3x=50\quad\Longrightarrow\quad 5x=50\quad\Longrightarrow\quad x=10$

   Получаем:

   $BD=20\ \text{см},\qquad CD=30\ \text{см}$

   Проверка: $20+30=50$ ✓ и $20:30=2:3$ ✓.

3. 3

   Находим DE через подобие треугольников. Так как $DE\parallel AB$, углы при $D$ и $E$ в $\triangle CDE$ равны соответствующим углам при $B$ и $A$ в $\triangle CBA$ (по соответственным углам), значит $\triangle CDE\sim\triangle CBA$. Соответствие: $DE$ — $AB$, $CD$ — $CB$:

   $\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CB}\quad\Longrightarrow\quad \frac{DE}{30}=\frac{30}{50}\quad\Longrightarrow\quad DE=18\ \text{см}$

   Ключевой момент — сопоставлять $DE$ с $AB$ (обе стороны напротив соответствующих вершин $C$), а не с $AC$.

4. 4

   Аналогично найдём DF от другой вершины. Так как $DF\parallel AC$, получаем $\triangle BDF\sim\triangle BCA$, значит:

   $\frac{DF}{AC}=\frac{BD}{BC}\quad\Longrightarrow\quad \frac{DF}{45}=\frac{20}{50}\quad\Longrightarrow\quad DF=18\ \text{см}$

5. 5

   Объясним, почему DE и DF равны. Оба отрезка по $18$ см, и это не случайность. При $DE\parallel AB$ и $DF\parallel AC$ четырёхугольник $AFDE$ — параллелограмм, значит $AF=DE$ и $AE=DF$. Но $AD$ — биссектриса и одновременно диагональ этого параллелограмма, что заставляет две прилежащие стороны быть равными — параллелограмм становится ромбом, то есть $DE=DF$. Алгебраически: $AB\cdot\frac{CD}{BC}=AC\cdot\frac{BD}{BC}$, что выполняется, так как $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$.

6. 6

   Проверим координатами. Пусть $A=(0,0)$, $B=(30,0)$, $C$ — точка с $AC=45$, $BC=50$. Тогда $D$ находится на $\tfrac{20}{50}$ пути от $B$ к $C$: вычисления дают $BD=20{,}000$, $CD=30{,}000$, прямая $AD$ делит угол $A$ пополам, а две параллели дают $DE=18{,}000$ и $DF=18{,}000$ ✓.