В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, где L лежит на стороне BC. Угол ALC равен 98 градусам, угол ABC равен 60 градусам. Найдите угол ACB в градусах.

Step-by-step solution

1. 1

   Обозначим буквой именно ту величину, которую ищем. Положим $\angle ACB = x$. Выбор искомого угла в качестве переменной оставляет все последующие уравнения в терминах одного лишь $x$, вместо того чтобы тащить за собой три неизвестных угла.

2. 2

   Выразим $\angle A$ через сумму углов треугольника $ABC$. Так как три угла в сумме дают $180^\circ$,

   $\angle A = 180^\circ - 60^\circ - x = 120^\circ - x$

3. 3

   Воспользуемся биссектрисой, чтобы разделить этот угол пополам. Прямая $AL$ делит $\angle A$ пополам, поэтому та его часть, которая попадает внутрь треугольника $ALC$, равна

   $\angle CAL = \frac{120^\circ - x}{2}$

   Это единственное место, где используется слово биссектриса, и именно оно связывает большой треугольник с малым.

4. 4

   Запишем сумму углов треугольника $ALC$. Поскольку точка $L$ лежит на отрезке $BC$, угол треугольника $ALC$ при вершине $C$ — это тот же самый $\angle ACB = x$. Значит,

   $\frac{120^\circ - x}{2} + 98^\circ + x = 180^\circ$

5. 5

   Решим линейное уравнение.

   $\frac{120 - x}{2} + x = 82 \;\Longrightarrow\; 60 - \frac{x}{2} + x = 82 \;\Longrightarrow\; \frac{x}{2} = 22$

   $x = 44^\circ$

6. 6

   Проверим согласованность всех четырёх углов. При $x = 44^\circ$ получаем $\angle A = 76^\circ$, значит, каждая половина равна $38^\circ$. В треугольнике $ALC$: $38^\circ + 98^\circ + 44^\circ = 180^\circ$. В треугольнике $ABC$: $76^\circ + 60^\circ + 44^\circ = 180^\circ$. Оба равенства выполняются.