Пять внешних углов выпуклого пятиугольника относятся как 1 : 2 : 3 : 4 : 5. Найдите пять внутренних углов и отношение между ними.

Step-by-step solution

1. 1

   Начнём с внешних углов, так как их сумма — это факт, не зависящий от числа сторон. При обходе любого выпуклого многоугольника совершается полный оборот, поэтому

   $\text{сумма внешних углов}=360^\circ$

   для треугольника, пятиугольника или стогранника — всегда. Именно эта постоянная позволяет использовать заданное отношение.

2. 2

   Введём коэффициент пропорциональности и найдём его. Обозначим внешние углы как $k, 2k, 3k, 4k, 5k$. Тогда

   $k+2k+3k+4k+5k=15k=360^\circ$

   $k=24^\circ$

3. 3

   Запишем значения внешних углов.

   $24^\circ,\quad 48^\circ,\quad 72^\circ,\quad 96^\circ,\quad 120^\circ$

   Все пять углов положительны и меньше $180^\circ$, значит, такой выпуклый пятиугольник возможен геометрически.

4. 4

   Переходим от внешних углов к внутренним. В каждом вершине внутренний и внешний угол составляют развернутый угол, то есть они дополнительные:

   $\text{внутренний}=180^\circ-\text{внешний}$

   $180-24=156^\circ,\quad 180-48=132^\circ,\quad 180-72=108^\circ,\quad 180-96=84^\circ,\quad 180-120=60^\circ$

5. 5

   Проверим сумму внутренних углов. Для $n$-угольника сумма внутренних углов равна $(n-2)\cdot180^\circ$, здесь $(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ$:

   $156+132+108+84+60=540\;\checkmark$

   Это независимая проверка, так как используется формула, которую не подставляли в вычисления.

6. 6

   Сократим внутренние углы до отношения. Делим $156:132:108:84:60$ на общий делитель $12$, получаем

   $13:11:9:7:5.$

   Обратите внимание: это не $5:4:3:2:1$ — вычитание из $180^\circ$ не сохраняет пропорцию, поэтому арифметическая прогрессия внешних углов переходит в другую арифметическую прогрессию для внутренних. В этом и состоит суть задачи.