Прямоугольный парк имеет размеры 30 м на 20 м. В каждом из четырёх углов размещена клумба в виде четверти круга радиусом 7 м. Вокруг оставшейся части устроена беговая дорожка. Какова длина этой дорожки?

Step-by-step solution

1. 1

   Определим, из чего теперь состоит граница. При удалении четверти круга из угла исчезает сам угол. Граница оставшейся области уже не состоит из четырёх прямых сторон: теперь это четыре укороченные прямые стороны и четыре дуги окружности. Значит, ответ не равен периметру прямоугольника и не равен периметру минус полные контуры клумб.

2. 2

   Укоротим каждую прямую сторону. Каждый угол «съедает» по $7\ \text{м}$ с одной стороны и $7\ \text{м}$ с другой. Таким образом, каждая сторона теряет по $7\ \text{м}$ на каждом из двух концов, то есть

   $\text{длинные стороны: }2(30-2\cdot 7)=2(16)=32\ \text{м},\qquad\text{короткие стороны: }2(20-2\cdot 7)=2(6)=12\ \text{м},$

   получаем $32+12=44\ \text{м}$ прямых участков дорожки. (Оба выражения $30-14$ и $20-14$ положительны, значит, четыре клумбы не пересекаются — это полезно проверить перед дальнейшими вычислениями.)

3. 3

   Добавим четыре дуги. Каждая дуга — это четверть окружности радиусом $7$, а четыре четверти дают полный круг:

   $4\cdot\frac{1}{4}\left(2\pi r\right)=2\pi(7)=14\pi\ \text{м}\approx 43.98\ \text{м}.$

4. 4

   Сложим периметр.

   $P=44+14\pi\approx 44+43.98=87.98\ \text{м}.$

   Поскольку радиус равен $7$, то при учебном приближении $\pi\approx\tfrac{22}{7}$ длина дуг будет ровно $2\cdot\tfrac{22}{7}\cdot 7=44\ \text{м}$, а общий периметр — ровно $88\ \text{м}$. Поэтому $88\ \text{м}$ и является ожидаемым ответом.

5. 5

   Сравним результат с исходным прямоугольником. Исходный периметр равен $2(30+20)=100\ \text{м}$. В каждом углу $14\ \text{м}$ прямого края заменяется дугой длиной $\tfrac{7\pi}{2}\approx 11\ \text{м}$, то есть теряется примерно $3\ \text{м}$; четыре угла — это около $12\ \text{м}$, и $100-12=88\ \text{м}$. Закругление углов действительно уменьшает длину круга, как и ожидалось.