Сколько различных треугольников можно построить со сторонами 4, 8 и 11?

Step-by-step solution

1. 1

   Определим, какой признак существования треугольника применим. Даны все три стороны, значит, рассматривается случай SSS (по трём сторонам). В отличие от случая SSA, признак SSS не даёт неоднозначности: если треугольник существует, то он единственный с точностью до равенства. Значит, ответ может быть только $0$ или $1$.

2. 2

   Запишем неравенство треугольника. Три положительных отрезка могут быть сторонами треугольника тогда и только тогда, когда каждый из них меньше суммы двух других:

   $a+b>c,\qquad a+c>b,\qquad b+c>a$

3. 3

   Проверим все три неравенства для $a=4$, $b=8$, $c=11$.

   $4+8=12>11\qquad\checkmark$
   $4+11=15>8\qquad\checkmark$
   $8+11=19>4\qquad\checkmark$

   На практике достаточно проверить только первое — именно неравенство для наибольшей стороны является определяющим.

4. 4

   Отметим близость к предельному случаю. Запас составляет всего $12>11$: если бы наибольшая сторона была равна $12$, точки лежали бы на одной прямой (вырожденный треугольник), а при $13$ треугольник уже не существовал бы.

5. 5

   Делаем вывод. Все три неравенства выполняются, а признак SSS однозначно определяет треугольник, значит, можно построить ровно

   $\boxed{1}$

   треугольник. Для дополнительной проверки: угол напротив $11$ вычисляется по формуле $\cos C=\tfrac{16+64-121}{2\cdot 4\cdot 8}=-\tfrac{41}{64}$, что допустимо для косинуса, и даёт $C\approx 129{,}8^\circ$ — тупой угол, как и ожидается, когда самая длинная сторона лишь немного меньше суммы двух других.