В треугольнике ABC биссектрисы AE и BD пересекаются в O. Известно: AB = 12 см, OA/OE = 3/2 и AD/DC = 6/7. Найдите AC.

Step-by-step solution

1. 1

   Используем первую биссектрису для нахождения BC. $BD$ — биссектриса угла $B$ и пересекает $AC$ в точке $D$, поэтому по теореме о биссектрисе в треугольнике $ABC$ отношение прилежащих к $B$ сторон:

   $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}\quad\Longrightarrow\quad \frac{6}{7}=\frac{12}{BC}\quad\Longrightarrow\quad BC=14\ \text{см}$

   Важно правильно сопоставить: $AD$ прилежит к $AB$, а $DC$ — к $BC$.

2. 2

   Понимаем смысл второго условия. Отношение $\dfrac{OA}{OE}$ берётся вдоль отрезка $AE$, а $O$ — точка пересечения с $BD$. Так как $BD$ — биссектриса угла $B$, то $BO$ — биссектриса угла $B$ в треугольнике $ABE$, поскольку точки $A$, $O$, $E$ лежат на одной прямой. Применяя теорему о биссектрисе к этому меньшему треугольнику:

   $\frac{OA}{OE}=\frac{BA}{BE}$

   Именно это наблюдение позволяет решить задачу без координат.

3. 3

   Выражаем BE через неизвестное AC. $AE$ — биссектриса угла $A$, значит в треугольнике $ABC$ $\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{AB}{AC}$. Поскольку $BE+EC=BC=14$:

   $BE=BC\cdot\frac{AB}{AB+AC}=\frac{14\cdot12}{12+AC}=\frac{168}{12+AC}$

4. 4

   Подставляем в данное отношение и решаем.

   $\frac{OA}{OE}=\frac{AB}{BE}=\frac{12}{\dfrac{168}{12+AC}}=\frac{12\,(12+AC)}{168}=\frac{12+AC}{14}$

   Приравниваем к $\tfrac32$:

   $\frac{12+AC}{14}=\frac{3}{2}\quad\Longrightarrow\quad 12+AC=21\quad\Longrightarrow\quad AC=9\ \text{см}$

5. 5

   Проверяем возможность построения треугольника. При $AB=12$, $BC=14$, $AC=9$ все неравенства треугольника выполняются: $12+9=21>14$, $12+14>9$, $9+14>12$ — значит, треугольник существует и не вырожден.

6. 6

   Проверяем оба условия задачи отдельно. При $AC=9$: $BE=\frac{14\cdot12}{21}=8$, значит $\frac{AB}{BE}=\frac{12}{8}=\frac32$ — совпадает с $\frac{OA}{OE}$. Также $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{12}{14}=\frac67$ — совпадает с условием. Если построить треугольник в координатах и найти пересечение биссектрис, получится $OA/OE=1.500000$ и $AD/DC=0.857143=\tfrac67$ — всё верно.