В выпуклом четырёхугольнике ABCD AB = BC и AD = CD. Угол B равен 58°, угол D равен 136°. Найдите угол A в градусах.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим фигуру с двумя парами равных смежных сторон. Если $AB=BC$ и $AD=CD$, то четырёхугольник $ABCD$ — это воздушный змей. Это важно, потому что точки $B$ и $D$ равноудалены от $A$ и $C$, то есть лежат на серединном перпендикуляре к $AC$. Диагональ $BD$ становится осью симметрии.

2. 2

   Используем симметрию: $\angle A = \angle C$. Отражение относительно прямой $BD$ меняет местами $A$ и $C$, а $B$ и $D$ остаются на месте, поэтому угол при $A$ переходит в угол при $C$. Значит,

   $\angle A = \angle C$

   Именно это равенство превращает задачу с четырьмя неизвестными в задачу с одной переменной.

3. 3

   Применим сумму углов четырёхугольника. В любом четырёхугольнике сумма внутренних углов равна $360^\circ$:

   $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$

4. 4

   Подставим известные углы и равенство. Запишем $\angle C$ как $\angle A$:

   $2\angle A + 58^\circ + 136^\circ = 360^\circ$

   $2\angle A = 360^\circ - 194^\circ = 166^\circ$

   $\angle A = 83^\circ$

5. 5

   Проверим, разбив по диагонали $AC$. Треугольник $ABC$ равнобедренный с вершиной $58^\circ$, значит его боковые углы: $\tfrac{180^\circ-58^\circ}{2}=61^\circ$, то есть $\angle BAC = 61^\circ$. Треугольник $ACD$ равнобедренный с вершиной $136^\circ$, значит $\angle DAC = \tfrac{180^\circ-136^\circ}{2}=22^\circ$. Тогда $\angle A = 61^\circ + 22^\circ = 83^\circ$, что совпадает с предыдущим результатом.