Точка A лежит на двух третях пути по отрезку от (1, 10) до (−8, 4). Точка B — середина отрезка с концами C(0, −7) и D(6, −11). Найдите расстояние AB.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем формулу деления отрезка для A. Пройдя долю $t$ пути от $P$ к $Q$, попадаем в точку $P+t(Q-P)$. Здесь $t=\frac23$, $P=(1,10)$ и $Q=(-8,4)$, так что смещение равно $Q-P=(-9,-6)$.

2. 2

   Вычислим A. $A=(1,10)+\frac23(-9,-6)=(1-6,\ 10-4)=(-5,6)$. Обе координаты получились целыми, потому что $-9$ и $-6$ делятся на $3$.

3. 3

   Вычислим B по формуле середины. Середина — это среднее арифметическое координат: $B=\left(\frac{0+6}{2},\frac{-7+(-11)}{2}\right)=(3,-9)$.

4. 4

   Применим формулу расстояния. $AB=\sqrt{(3-(-5))^2+(-9-6)^2}=\sqrt{8^2+(-15)^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}$.

5. 5

   Упростим радикал. $\sqrt{289}=17$, значит $AB=17$. Катеты $8$ и $15$ с гипотенузой $17$ образуют известную пифагорову тройку — хороший признак того, что арифметика верна.

6. 6

   Проверим, что A действительно делит отрезок в отношении двух третей. Расстояние от $(1,10)$ до $A(-5,6)$ равно $\sqrt{36+16}=\sqrt{52}\approx 7.211$, а длина всего отрезка от $(1,10)$ до $(-8,4)$ равна $\sqrt{81+36}=\sqrt{117}\approx 10.817$. Отношение $7.211/10.817=0.6667$ — ровно две трети.