Найдите вершину, фокус, ось симметрии и директрису параболы (x − 1)² = 8(y − 2).

Step-by-step solution

1. 1

   Определяем, какой из двух канонических видов подходит. В квадрат возведена переменная $x$, значит парабола вытянута вдоль вертикали. Это задаёт шаблон

   $(x-h)^2 = 4p(y-k)$

   Если бы в квадрате стоял $y$, парабола была бы направлена вбок и во всех формулах ниже роли осей поменялись бы местами.

2. 2

   Считываем $h$, $k$ и $p$, сравнивая слагаемое за слагаемым. Сопоставляя $(x-1)^2 = 8(y-2)$ с шаблоном, получаем $h = 1$, $k = 2$ и $4p = 8$, откуда

   $p = 2$

   Так как $p > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. 3

   Вершина — это точка $(h,k)$. Прямо из сопоставления: вершина находится в $(1, 2)$.

4. 4

   Фокус отстоит от вершины на $p$ вдоль оси. Для параболы с вертикальной осью фокус имеет координаты $(h,\; k+p)$:

   $(1,\; 2+2) = (1, 4)$

5. 5

   Директриса отстоит на $p$ в другую сторону, а ось проходит через обе точки. Ось симметрии — вертикальная прямая через вершину, то есть $x = h = 1$. Директриса — горизонтальная прямая $y = k - p = 2 - 2 = 0$, то есть сама ось $x$.

6. 6

   Проверяем по определению «фокус — директриса». Возьмём точку $(5, 4)$: $(5-1)^2 = 16 = 8(4-2)$, значит она действительно лежит на параболе. Расстояние от неё до фокуса $(1,4)$ равно $4$, и расстояние до директрисы $y = 0$ тоже равно $4$. Равенство расстояний подтверждает и фокус, и директрису.