Равнобедренная трапеция с верхним основанием 4, нижним 4+2r и боковыми сторонами 2r. Найдите её площадь и периметр через r.

Step-by-step solution

1. 1

   Складываем четыре стороны для периметра. Высота здесь не требуется:

   $P=4+(4+2r)+2r+2r=8+6r.$

2. 2

   Разделим выступающую часть основания для построения прямоугольного треугольника. Нижнее основание длиннее верхнего на $(4+2r)-4=2r$. В равнобедренной трапеции этот избыток делится поровну между двумя концами, значит, каждый конец выступает на

   $\frac{2r}{2}=r.$

   Если опустить перпендикуляр из каждой верхней вершины, получится прямоугольный треугольник с гипотенузой $2r$ (боковая сторона) и основанием $r$ (выступ).

3. 3

   Находим высоту по теореме Пифагора.

   $h^{2}+r^{2}=(2r)^{2}=4r^{2}\;\Longrightarrow\;h^{2}=3r^{2}\;\Longrightarrow\;h=r\sqrt3.$

   Отношение $r:r\sqrt3:2r$ — это треугольник $30$-$60$-$90$, поэтому каждая боковая сторона пересекает большее основание под углом $60^{\circ}$ — это не зависит от $r$, и трапеции подобны при любом $r$.

4. 4

   Применяем формулу площади трапеции.

   $A=\frac12\bigl(\text{upper}+\text{lower}\bigr)h=\frac12\bigl(4+4+2r\bigr)\bigl(r\sqrt3\bigr)=\frac12\cdot 2(4+r)\cdot r\sqrt3=\sqrt3\,r(r+4).$

5. 5

   Проверим формулы на конкретном значении и отметим ограничение. При любом $r>0$ получается настоящая трапеция, так как высота $r\sqrt3$ положительна. Подставим $r=1$: основания $4$ и $6$, боковые $2$, высота $\sqrt3=1.7320508$. Периметр $=4+6+2+2=14=8+6(1)$ ✓, площадь $=\tfrac12(10)(1.7320508)=8.660254$, а $\sqrt3(1)(5)=8.660254$ ✓.