В равнобедренную трапецию с основаниями 5 и 11 и высотой 6 вписан прямоугольник, одна сторона которого лежит на большем основании, а остальные стороны параллельны основаниям. Какова наибольшая возможная площадь такого прямоугольника?

Step-by-step solution

1. 1

   Определим, как ширина трапеции изменяется по высоте. Основания трапеции отличаются на $11-5=6$, а значит, по симметрии каждое боковое ребро сдвигается внутрь на $\tfrac{6}{2}=3$ по всей высоте $6$. Таким образом, ширина трапеции — линейная функция высоты $x$ над нижним основанием: уменьшается от $11$ при $x=0$ до $5$ при $x=6$:

   $w(x)=11-\frac{11-5}{6}\,x=11-x,\qquad 0\le x\le 6.$

2. 2

   Выразим площадь прямоугольника через одну переменную. Пусть высота прямоугольника равна $x$, при этом его основание лежит на большем основании трапеции. Верхняя грань прямоугольника находится на высоте $x$, и именно там трапеция уже всего — ширина уменьшается с ростом $x$, поэтому именно эта ширина ограничивает прямоугольник. Значит, максимальная возможная ширина прямоугольника — $w(x)=11-x$, а площадь

   $A(x)=x(11-x)=11x-x^{2}.$

3. 3

   Найдём максимум квадратичной функции. $A(x)=-x^{2}+11x$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, значит, максимум достигается в вершине:

   $x=\frac{-b}{2a}=\frac{-11}{2(-1)}=\frac{11}{2}=5.5.$

   Это значение лежит в допустимом диапазоне $0\le x\le 6$, значит, найденный максимум не ограничен концами отрезка. (Если раскрыть полный квадрат, получится то же самое: $A=\tfrac{121}{4}-\left(x-\tfrac{11}{2}\right)^{2}$.)

4. 4

   Вычислим максимальную площадь.

   $A\!\left(\frac{11}{2}\right)=\frac{11}{2}\left(11-\frac{11}{2}\right)=\frac{11}{2}\cdot\frac{11}{2}=\frac{121}{4}=30.25.$

   Оптимальный прямоугольник оказывается квадратом со стороной $5{,}5$.

5. 5

   Проверим разумность ответа. Площадь всей трапеции равна $\tfrac{5+11}{2}\cdot 6=48$, а лучший прямоугольник занимает $\tfrac{30.25}{48}\approx 63\%$ этой площади — результат выглядит правдоподобно. Если просканировать $A(x)=x(11-x)$ по $[0,6]$ с шагом $10^{-5}$, максимум также будет $30.25$ при $x=5.5$, что подтверждает вычисления через вершину параболы.