В равностороннем треугольнике ABC со стороной AB = 4 см точки M на AC и N на BC таковы, что CM = BN, и ни одна из них не совпадает с вершиной. Прямые AN и BM пересекаются в точке G. (а) Провести CH ⟂ AB в точке H и найти CH. (б) Доказать, что AN = BM, и найти угол AGM.

Step-by-step solution

1. 1

   (a) Используем свойство высоты в равностороннем треугольнике. Поскольку $CA=CB$, основание $H$ высоты из $C$ — это середина $AB$, значит

   $AH=HB=\frac{AB}{2}=2\ \text{см}$

   Это позволяет рассматривать один из треугольников как прямоугольный с двумя известными сторонами.

2. 2

   (a) Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $ACH$.

   $CH^{2}=AC^{2}-AH^{2}=4^{2}-2^{2}=16-4=12$

   $CH=\sqrt{12}=2\sqrt3\approx3,46\ \text{см}$

   Это стандартная формула $\frac{\sqrt3}{2}\times\text{сторона}$ для высоты равностороннего треугольника, здесь $\frac{\sqrt3}{2}\times 4$.

3. 3

   (б) Выберем подходящую пару треугольников для сравнения. Пара $\triangle ABN$ и $\triangle CAM$ не подходит, так как $AM=4-CM$ вообще не совпадает с $BN$. Сравним $\triangle ABN$ и $\triangle BCM$:

   $AB=BC=4\ \text{(равносторонний)},\qquad \angle ABN=\angle BCM=60^\circ,\qquad BN=CM\ \text{(по условию)}$

   В каждом треугольнике угол расположен между двумя равными сторонами, значит, выполняется признак равенства по двум сторонам и углу между ними (ССУ).

4. 4

   (б) Делаем вывод о равенстве двух отрезков. По признаку ССУ $\triangle ABN\cong\triangle BCM$, и соответствующие элементы равны:

   $AN=BM$

   А также равны углы: $\angle BAN=\angle CBM$.

5. 5

   (б) Найдём углы при точке пересечения $G$. Так как $M$ лежит на $AC$, луч $BM$ делит угол $B$ ($60^\circ$):

   $\angle ABM=60^\circ-\angle CBM$

   Сложим равные углы из равных треугольников:

   $\angle BAN+\angle ABM=\angle CBM+\left(60^\circ-\angle CBM\right)=60^\circ$

   В треугольнике $ABG$ углы при $A$ и $B$ равны этим значениям, значит

   $\angle AGB=180^\circ-60^\circ=120^\circ$

6. 6

   (б) Переходим к искомому углу. Точка $G$ лежит на $BM$, поэтому углы $\angle AGM$ и $\angle AGB$ смежные:

   $\angle AGM=180^\circ-120^\circ=60^\circ$

   Заметим, что ответ не зависит от положения $M$ и $N$: если перемещать их по сторонам (сохраняя $CM=BN$), угол между двумя отрезками всегда останется $60^\circ$. Проверка по координатам с $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(2,2\sqrt3)$ и $CM=BN=2$ также даёт $\angle AGM=60^\circ$.