В треугольнике ABC угол при C равен 14°, AD — биссектриса угла A, угол BAD равен 28°. Найдите угол ADB в градусах.

Step-by-step solution

1. 1

   Восстановим полный угол A по биссектрисе. Биссектриса делит $\angle A$ на две равные части, и одна из них дана:

   $\angle BAD = \angle DAC = 28^{\circ} \quad\Longrightarrow\quad \angle A = 2 \times 28^{\circ} = 56^{\circ}$

   Таким образом, $28^{\circ}$ — это именно половина угла $A$, а не сам угол.

2. 2

   Применим сумму углов треугольника ABC.

   $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \quad\Longrightarrow\quad 56^{\circ} + \angle B + 14^{\circ} = 180^{\circ}$

   $\angle B = 110^{\circ}$

   Получен тупой угол при $B$, что согласуется с малыми значениями двух других углов.

3. 3

   Переходим к треугольнику ABD. Точка $D$ лежит на стороне $BC$, поэтому угол при $B$ внутри треугольника $ABD$ совпадает с $\angle ABC = 110^{\circ}$ — лучи $BA$ и $BC$ (на котором лежит $BD$) не изменяются.

4. 4

   Закроем сумму углов в треугольнике ABD.

   $\angle ADB = 180^{\circ} - \angle BAD - \angle ABD = 180^{\circ} - 28^{\circ} - 110^{\circ} = 42^{\circ}$

5. 5

   Проверим ответ через другой треугольник. В треугольнике $ACD$: $\angle DAC = 28^{\circ}$ и $\angle C = 14^{\circ}$, значит $\angle ADC = 180^{\circ} - 42^{\circ} = 138^{\circ}$. Так как $\angle ADB$ и $\angle ADC$ смежные по прямой $BC$, $\angle ADB = 180^{\circ} - 138^{\circ} = 42^{\circ}$ — тот же ответ другим способом. (Эквивалентно, по теореме о внешнем угле: $\angle ADB = \angle DAC + \angle C = 28^{\circ} + 14^{\circ} = 42^{\circ}$.)