В четырёхугольнике ABCD угол A = угол B / 2 = угол C / 3 = угол D / 4. Найдите все четыре угла.

Step-by-step solution

1. 1

   Введём общий параметр для всех выражений. Так как все четыре выражения равны, обозначим их общее значение через $x$: $\widehat{A}=\frac{\widehat{B}}{2}=\frac{\widehat{C}}{3}=\frac{\widehat{D}}{4}=x.$ Теперь все углы выражаются через одну переменную.

2. 2

   Запишем каждый угол через $x$. Умножая каждое равенство на соответствующее число, получаем: $\widehat{A}=x,\quad \widehat{B}=2x,\quad \widehat{C}=3x,\quad \widehat{D}=4x.$ Таким образом, углы находятся в отношении $1:2:3:4$ — обратите внимание, что знаменатели в исходном условии становятся множителями.

3. 3

   Используем сумму углов четырёхугольника. Четырёхугольник можно разбить на два треугольника, поэтому сумма его внутренних углов равна $2\times180^\circ = 360^\circ$: $x+2x+3x+4x = 360^\circ.$

4. 4

   Решим уравнение относительно $x$. $10x = 360^\circ \quad\Longrightarrow\quad x = 36^\circ.$

5. 5

   Подставим найденное значение. $\widehat{A}=36^\circ,\quad \widehat{B}=72^\circ,\quad \widehat{C}=108^\circ,\quad \widehat{D}=144^\circ.$

6. 6

   Проверим сумму углов и возможность построения. $36+72+108+144 = 360$, как и должно быть. Все углы меньше $180^\circ$, значит, такой выпуклый четырёхугольник существует; кроме того, $\widehat{B}+\widehat{D} = 72+144 = 216^\circ \ne 180^\circ$, то есть четырёхугольник не вписанный.