Решите уравнение (1 + x) в 20-й степени = 1,1207.

Step-by-step solution

1. 1

   Разберёмся со структурой. Перед нами уравнение сложного роста: $1.1207$ — суммарный коэффициент роста, накопленный за $20$ одинаковых периодов, а $x$ — ставка за один период. Показатель чётный, поэтому действительный корень $20$-й степени берётся положительный (при отрицательном основании было бы $1+x<0$, что для коэффициента роста бессмысленно).

2. 2

   Снимаем степень корнем. Возведём обе части в степень $\tfrac{1}{20}$: $1+x = 1.1207^{1/20} = \sqrt[20]{1.1207}.$

3. 3

   Вычисляем корень через логарифмы. $\ln 1.1207 = 0.11395349$, значит $\tfrac{1}{20}\ln 1.1207 = 0.00569767$ и $1+x = e^{0.00569767} = 1.00571394.$ Логарифмы избавляют от накопления погрешности, которое возникло бы при последовательном извлечении квадратных корней.

4. 4

   Вычитаем единицу и получаем ставку. $x = 1.00571394 - 1 = 0.00571394 \approx 0.5714\%\ \text{за период}.$

5. 5

   Проверяем прямым начислением. $1.00571394^{20} = 1.120700$ — правая часть воспроизводится с точностью до шестого знака, значит корень найден верно.

6. 6

   Поймём, почему линейная оценка близка, но не равна точной. Если разделить весь прирост поровну, получится $\tfrac{0.1207}{20}=0.60\%$; истинная ставка $0.5714\%$ меньше, потому что часть работы выполняет капитализация процентов. За $20$ периодов расхождение составляет около $5\%$ от величины ставки.