Решите уравнение (1 + x) в 15-й степени = 1,0306.

Step-by-step solution

1. 1

   Записываем обратную операцию. Неизвестное стоит под пятнадцатой степенью, поэтому возводим обе части в обратный показатель: $1+x = 1.0306^{1/15} = \sqrt[15]{1.0306}.$ Корень нечётной степени имеет единственное вещественное значение, так что неоднозначности со знаком здесь нет.

2. 2

   Считаем через логарифмы, а не повторным извлечением корней. $\ln 1.0306 = 0.03014116$. Делим на $15$: $\tfrac{0.03014116}{15} = 0.00200941$.

3. 3

   Возвращаемся через экспоненту. $1+x = e^{0.00200941} = 1.00201143.$ Заметим, что при малых $t$ верно $e^{t}\approx 1+t$, — именно поэтому показатель $0.00200941$ и дробная часть результата $0.00201143$ выглядят почти одинаково: они расходятся лишь в третьей значащей цифре.

4. 4

   Вычитаем 1 и получаем ставку. $x = 1.00201143 - 1 = 0.00201143 \approx 0.2011\%\ \text{за период}.$

5. 5

   Проверяем прямым начислением. $1.00201143^{15} = 1.030600$ — ровно заданный множитель.

6. 6

   Не округляем слишком рано. Если округлить корень до $1.0020$, ставка станет $0.20\%$, а за $15$ периодов накопится всего $1.030424$ — уже расхождение в четвёртом знаке множителя роста. При малых ставках и большом числе периодов держите не меньше восьми значащих цифр до самого последнего округления.