Общая сумма выплат по 20-летнему кредиту составила 5 800 долларов. Если ставка была 6,6% с ежемесячной капитализацией, какова была первоначальная сумма?

Step-by-step solution

1. 1

   Выбираем формулу, связывающую «сумму выплат» и «первоначальную сумму». При единовременном вложении, растущем по фиксированной периодической ставке, действует закон сложных процентов:

   $A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$

   Всё, кроме $P$, известно, то есть уравнение с одним неизвестным — формула аннуитета не требуется, так как речь идёт о единовременной выплате, а не о серии платежей.

2. 2

   Переводим годовую ставку в периодическую и определяем число периодов. При $r=0.066$ и $n=12$ периодах капитализации в год:

   $i=\frac{0.066}{12}=0.0055,\qquad N=nt=12\times 20=240$

   Ставка $6.6\%$ — номинальная годовая, поэтому её нужно делить на $12$ перед использованием в формуле.

3. 3

   Вычисляем множитель роста $(1.0055)^{240}$ аккуратно. Через логарифмы удобно проверить вычисления:

   $240\ln(1.0055)=240\times 0.00548492=1.3163808$
   $e^{1.3163808}=3.7299068$

   Значит, за 240 месяцев сумма увеличивается в $3.7299068$ раза. Часто ошибочно берут множитель $3.6521$ — это неверно и завышает итоговую сумму примерно на \34$.

4. 4

   Делим итоговую сумму на множитель роста. Преобразуем $A=P(1+i)^N$:

   $P=\frac{A}{(1+i)^N}=\frac{5800}{3.7299068}=1554.9986$

   Округляя до цента, получаем \1{,}555.00$ — это и есть первоначальная сумма.

5. 5

   Проверяем, умножая $1{,}555.00$ на множитель роста. Перемножая:

   $1555.00\times 3.7299068=5800.00$

   Получается исходная сумма, значит, дисконтирование выполнено верно. Для сравнения: при ошибочном множителе $3.6521$ получили бы 5800/3.6521=\1{,}588.13$, а приращение этой суммы по настоящему множителю дало бы$1588.13\times 3.7299068=$5{,}923.58$— не$$5{,}800$, что и позволяет выявить ошибку.