Кредитная программа предлагает ставку 5 процентов годовых с непрерывным начислением процентов. Если не делать выплат, сколько нужно будет вернуть через три года по займу 3300 долларов?

Step-by-step solution

1. 1

   Выбираем подходящую формулу и разбираемся с её происхождением. При начислении процентов $n$ раз в год используется формула $P\left(1+\tfrac{r}{n}\right)^{nt}$; при переходе к пределу $n\to\infty$ получаем формулу для непрерывного начисления:

   $A=Pe^{rt}.$

   Появление числа $e$ здесь не случайно — это предел при всё более частом начислении процентов.

2. 2

   Определяем исходные данные в согласованных единицах. Основная сумма $P=3300$, ставка должна быть в виде десятичной дроби за год, $r=0.05$, а время — в тех же единицах, что и ставка: $t=3$ года. Ошибки часто возникают при смешении процентов и десятичных дробей или месяцев и годовой ставки.

3. 3

   Сначала вычисляем показатель степени. Находим $rt$ до возведения в степень:

   $rt=0.05\times 3=0.15,\qquad A=3300\,e^{0.15}.$

4. 4

   Вычисляем результат, не округляя раньше времени. $e^{0.15}=1.1618342427\ldots$, значит

   $A=3300\times 1.1618342427=3834.053001\ldots$

   Округляя только в самом конце, получаем \3834.05$. (Если бы округлили$e^{0.15}$до$1.16$заранее, получилось бы$$3828.00$ — на шесть долларов меньше.)

5. 5

   Сравниваем с обычным ежегодным начислением. Если бы проценты начислялись раз в год, сумма составила бы 3300(1.05)^3=\3820.16$. При непрерывном начислении сумма чуть больше, как и должно быть, но разница всего$$13.89$ — это наглядно показывает, что при умеренных ставках частота начисления влияет куда меньше самой ставки.