Решить 120r = 10,1(1 - 1/(1 + r)^12) относительно r. Это ставка по займу 120 с 12 платежами по 10,1.

Step-by-step solution

1. 1

   Распознаем формулу приведённой стоимости аннуитета. Если обе части уравнения разделить на $r$, то получаем стандартную форму:

   $120=10.1\cdot\frac{1-(1+r)^{-12}}{r},$

   то есть основная сумма = платёж $\times$ аннуитетный множитель при $n=12$. Понимание финансового смысла уравнения сразу даёт проверку здравого смысла, которую чистая алгебра не обеспечивает.

2. 2

   Оцениваем ответ до вычислений. Всего будет выплачено $12\times10.1=121.20$ при основной сумме $120$, то есть за двенадцать периодов переплата по процентам составит лишь $1.20$ — примерно $1\%$ от суммы займа, распределённый на целый год. Следовательно, ставка за период должна быть лишь малой долей процента, а не близка к $1\%$. Любой ответ около $0.9\%$ сразу отвергается: при $r=0.00893$ аннуитетный множитель оценивает займ только в $114.45$, а не $120$.

3. 3

   Ставим задачу поиска корня. Введём функцию

   $f(r)=120r-10.1\left(1-(1+r)^{-12}\right).$

   Заметим, что $f(0)=0$ — это тривиальный корень: при нулевой ставке обе части обнуляются. Значимый корень — это другое изменение знака. Подставляя: $f(0.001)=-0.000416$, $f(0.005)=+0.013244$, значит, корень лежит в интервале $(0.001,0.005)$.

4. 4

   Проводим бисекцию до сходимости. Последовательно деля этот отрезок пополам, получаем

   $r=0.0015341499\ldots\approx0.0015341,$

   то есть $0.15341\%$ за период. Просмотр значений на интервале $(-0.5,1)$ не даёт других изменений знака, значит, это единственное экономически осмысленное решение.

5. 5

   Проверяем через аннуитетный множитель. При $r=0.0015341499$ имеем:

   $\frac{1-(1+r)^{-12}}{r}=11.8811881,\qquad 10.1\times11.8811881=120.000000,$

   и действительно $\frac{120}{10.1}=11.8811881$. Если периоды — месяцы, то номинальная годовая ставка $12r\approx1.84\%$, а эффективная годовая $(1+r)^{12}-1\approx1.857\%$.