Джеймс ежемесячно вносит фиксированную сумму на аннуитет, чтобы накопить 85 000 долларов за 17 лет под 3,8% годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько он всего внесёт, а сколько составят проценты?

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем формулу будущей стоимости обычного аннуитета. Платежи вносятся в конце каждого периода, поэтому

   $FV = PMT \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i}$

   где $i = \tfrac{0.038}{12} = 0.0031666667$ — это месячная ставка, а $n = 17 \times 12 = 204$ — количество платежей.

2. 2

   Вычислим коэффициент накопления с высокой точностью. От точности этого шага зависит результат:

   $(1.0031666667)^{204} = 1.90594762$

   Если округлить здесь до четырёх знаков (например, $1.9064$), итоговая сумма вкладов изменится на десятки долларов, поэтому в промежуточных вычислениях требуется не менее шести знаков после запятой.

3. 3

   Выразим ежемесячный платёж.

   $PMT = FV \cdot \frac{i}{(1+i)^n - 1} = 85000 \times \frac{0.0031666667}{0.90594762} = \$297.11$

   Таким образом, ежемесячно потребуется вносить $297{,}11$ долларов.

4. 4

   Посчитаем общую сумму вкладов. Джеймс сделает $204$ платежа по \297.11$ каждый:

   $297.11 \times 204 = \$60{,}610.44$

   Это сумма, которую он внесёт за все годы.

5. 5

   Определим сумму процентов вычитанием. Всё, что оказалось на счету сверх внесённого — это проценты:

   $85000 - 60610.44 = \$24{,}389.56$

   То есть примерно $28.7\%$ итоговой суммы — результат капитализации.

6. 6

   Проверим расчёт в обратную сторону. Если наращивать \297.11$ежемесячно в течение$204$месяцев под$0.0031666667$:

   297.11 \times \tfrac{0.90594762}{0.0031666667} = 297.11 \times 286.08872 = \84{,}999.82$— точное значение$PMT$равно$297.110631$, поэтому округление вниз на$0.00063$в каждом платеже даёт недобор около$0.18$.