Ежемесячный аннуитет должен накопить 85 000 долларов за 17 лет под 3,8% годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько всего внесено и сколько составляют проценты?

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем формулу будущей стоимости обычного аннуитета. Взносы производятся в конце каждого периода, поэтому

   $FV = PMT \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i}$

   где $i$ — периодическая ставка, а $n$ — число взносов.

2. 2

   Переведём годовую ставку в месячную и определим число периодов. Капитализация ежемесячная, значит

   $i = \frac{0.038}{12} \approx 0.0031666667, \qquad n = 17 \times 12 = 204$

3. 3

   Выразим $PMT$ из формулы. Перепишем выражение:

   $PMT = FV \cdot \frac{i}{(1+i)^n - 1} = 85000 \cdot \frac{0.0031666667}{(1.0031666667)^{204} - 1}$

4. 4

   Вычислим множитель роста. $(1.0031666667)^{204} \approx 1.905948$, знаменатель равен $0.905948$, тогда

   $PMT \approx 85000 \cdot \frac{0.0031666667}{0.905948} \approx 297.11$

   Ежемесячный взнос составляет примерно $297{,}11$ доллара.

5. 5

   Посчитаем общую сумму взносов. За $204$ месяца:

   $297.110626 \times 204 = 60{,}610.57$

   Здесь используется невокруглённое значение $PMT$. Если округлять до цента, $297.11 \times 204 = 60{,}610.44$, и итоговая сумма чуть меньше $85{,}000$.

6. 6

   Вычислим сумму процентов. На счету окажется $85{,}000$, значит, проценты — это разница между итоговой суммой и внесёнными средствами:

   $85000 - 60610.57 = 24{,}389.43$